Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
+е? Лд"1^(Ф) + еЕЛду Е yVv'Xv' + edp,' + e? AivXv- (6.3.12)
V V V' V
Так как мы намереваемся вывести для % уравнение (6.1.27), потребуем,
чтобы
Хц = 2jAjivXvi (6.3.13)
V
или в векторных обозначениях
Х = Лх. (6.3.14)
Кроме того, производную
difc (ф)/д1|\, (6.3.15)
мы будем рассматривать как элемент с индексами р, v матрицы
V (6.3.16)
Приравняем члены, не зависящие от %, в выражениях (6.3.11) и
(6.3.12). С учетом условия (6.3.13) и введенной нами матричной
интерпретации (6.3.16) производных (6.3.15) получаем для частного случая
при % - 0
v^to-Av' = g(^, 0, 0) + d. (6.3.17)
Приравняем теперь члены выражений (6.3.11) и (6.3.12), линейные по X-
Обозначим матрицу, элементы которой с индексами р, v равны
Е (дКю-(Ф)/дфО (c)х. (6.3-18)
Осцилляторы с нелинейной связью
219
через
V".
(6.3.19)
(6.3.20)
"ф(r)-
V"-
(6.3.23)
Кроме того, будем рассматривать производные
dgj&lfo
как элементы с индексами ц, v матрицы
gr (6.3.21)
Члены первого порядка по % приводят к матричному уравнению
V^(o + V'A = gx + AV' + D'. (6.3.22)
Собирая уравнения (6.3.10), (6.3.17), (6.3.22), приходим к следующей
системе уравнений (% = 0):
-A' = f(\|3, 0, 0),
Av' - d' = g(^, 0, 0),
У'Л-ЛУ'-D' = gx(1j,) о, 0)
В этих уравнениях функции f, g, gx заданы, равно как и постоянные со и Л.
Величины ф в данном случае можно рассматривать как независимые
переменные, в то время как функции u', v', У требуется найти. Уравнения
(6.3.23) нетрудно привести к виду, обычно используемому в линейной
алгебре. Для этого преобразуем матрицу У' в вектор путем перенумерации ее
элементов, например матрицу
' Уп
Vii
можно представить в виде вектора
' V'n Vn
У 21
У 22
У' =
( У11 У12 \
V V'n V22 )
(6.3.24)
V' =
(6.3.25).
Построим вектор
и =
(6.3.26)
Аналогичным образом заменим матрицу g^ вектором G и введем вектор
F= ^ g | . (6.3.27)
220
Глава 6
Проделав такие же операции над A', d', D', построим вектор
А= | d' | • (6.3.28)
D'
Кроме того, у нас имеется матрица
( Ll ° \
L = I U . (6-3.29)
V о U)
подматрицы которой имеют размерность п, т и т2 соответственно. Из
уравнений (6.3.23) нетрудно видеть, что матрицы Llt L2, L3 должны иметь
вид
Li= ? "v^v, (6-3.30)
V=1
L2= ? (6.3.31)
V=1
La= Z - (6.3.32)
Л
где Л' и Л" - матрицы, получающиеся из матрицы Л при перену мерации
индексов. В обозначениях (6.3.26) - (6.3.29) уравнения
(6.3.23) представимы в виде
LU = F + A. (6.3.33)
Это - неоднородное уравнение для вектора U. Определим прежде
всего собственные значения оператора L. Для этого проще всего
разложить решение U уравнения
LU=UJ (6.3.34)
в ряд Фурье
0 M = Z U/ехр [t (j, г|з)]. (6.3.35)
7
Введение оператора L может показаться излишним, однако, как станет ясно
из дальнейшего, оно вполне целесообразно. Подставляя разложение (6.3.35)
в уравнение (6.3.34), получаем
i (j, о) и/ = Ки,-, (6.3.36)
[i (j, <*>) -Л] v/ = Ivj, (6.3.37)
i (j, (О) v; - Av) = IVr (6.3.38)
Осцилляторы с нелинейной связью
221
В обозначениях уравнения (6.2.23) при исходной нумерации индексов
уравнение (6.3.38) имеет вид
i(j, ю) V--AV) + V)A = XV). (6.3.39)
Из полученных нами уравнений ясно видно, чему равны собственные значения
матрицы L: так как уравнения для и/, v;-, V) не связаны между собой,
каждое из них можно решать независимо от остальных. Из уравнения (6.3.36)
мы получаем собственное значение
t(j, to); (6.3.40)
диагонализуя уравнение (6.3.37), приходим к собственным значениям
t(j, ю)-Ац, (6.3.41)
а диагонализуя уравнение (6.3.38) - к собственным значениям
*0, (r))-Л^ + А^, (6.3.42)
в чем особенно просто убедиться, если уравнение (6.3.38) привести к виду
(6.3.39).
Как известно из линейной алгебры, нулевое пространство образуют векторы
0/ с нулевыми собственными значениями. Из предположения (1) (см. разд.
6.2) следует, что собственные значения (6.3.40) - (6.3.42) обращаются в
нуль только при j = 0. После этих замечаний мы можем воспользоваться
хорошо известной теоремой линейной алгебры о разрешимости неоднородных
уравнений
(6.3.33). Для этого разложим F в ряд Фурье вида (6.3.35) и приравняем
коэффициенты при ехр U (j, to) ] в правой и левой частях уравнения
(6.3.33). При j Ф 0 получаем
t(j, to)u/ = f/, (6.3.43)
[t (j, ю) -A] v/ = g/, (6.3.44)
wo, (c))]v;-Av;+v;A=gXi., (6.3.45)
или, записывая уравнение (6.3.45) покомпонентно (для случая, когда
матрица А, например, диагональна),
1 (j. (r)) V} Щ, v)-(\- \) V; V) = йх. / V)- (б-3-46)
Так как собственные значения отличны от нуля, выписанные нами
уравнения могут быть однозначно разрешены относительно неизвестных u',
v', V'.
Обратимся теперь к собственным векторам Uj с нулевыми собственными
значениями. По предположению (1) (см. разд. 6.2), они могут быть получены
только при j = 0. Итак, собственные векторы
222
Глава 6
нулевого пространства удовлетворяют уравнениям
О • Uo = О, A-Vo= О,
Л V0-V0A = 0,
(6.3.47)
(6.3.48)
(6.3.49)
вытекающим из уравнений (6.3.36) - (6.3.38) и условий обращения в нуль
собственных значений (6.3.40) - (6.3.42).
