Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
Ass + P(u, s, ф, t).
(7.3.4)
Производные и и ф также допускают замену правыми частями уравнений
(7.2.19) и (7.2.21). Это позволяет преобразовать соотношения (7.3.2),
(7.3.4) к виду
dt
Q
ди
R-^-S)s = p(u, s(u, ф, t), ф, t). dtp J
(7.3.5)
Выражение, стоящее в круглых скобках в левой части уравнения (7.3.5),
представляет собой оператор, действующий на s. Формальное решение
уравнения (7.3.5) представимо в виде
s= As + |QР(и, s(u, ф, t), ф, t).
V dt ди дф J
(7.3.6)
Здесь уместно вспомнить некоторые результаты, полученные нами в разд.
7.1, где было показано, что величину s удобно представлять в виде ряда по
обратным степеням величины |i, которой соответствует As. Как станет
вскоре ясно, требуемое разложение мы получим, обозначив для краткости
Q- + R -= В
ди dtp
(7.3.7)
(7.3.8)
и воспользовавшись формальным разложением в степенной ряд
оо
(А + В)-1 = А-1-А-1ВА~1+ . , . (- ВА~гу,
\'-0
(7.3.9)
справедливом (при некоторых предположениях относительно А
238
Глава 7
и В) для операторов. В разложении (7.3.9) мы положили по определению
(ВА-1) о=1. (7.3.10)
Доказательство разложения (7.3.9) мы приводим в качестве упражнения для
читателя в конце этого раздела.
Разложение (7.3.9) с расшифровкой обозначений А и В (см.
(7.3.7), (7.3.8)) позволяет записать решение (7.3.6) в виде
оо
v =0
(7.3.11)
В практических приложениях вместо бесконечного ряда обычно бывает
достаточно взять его конечный отрезок. К тому же сходимость формального
ряда отнюдь не гарантирована. С другой стороны, для практических
приложений мы даем оценку остаточного члена, для чего выведем здесь
несколько полезных формул. Чтобы получить оценку остаточного члена,
разложим s по формуле (7.3.9):
[т оо "I
A-1 Z ( - BA~l)v + A~l ? ( - ВА~1У Р, (7.3.12)
v=0 v=m+I J
откуда
т
s = Л-1 ? (S4"')VP + r, (7.3.13)
v-0
.где г - остаточный член, задаваемый выражением
г = (А + В)-1{ - ВА~-1)т+1Р (7.3.14)
(доказательство см. в упражнениях, помещенных в конце этого раздела).
Для практических приложений важно, что оператор
Q - Ь R -- (7.3.15)
ди дц>
коммутирует с Л5. Матрица As преобразует компоненты вектора Р, в то время
как оператор (7.3.15) действует на все компоненты одинаково. Связь с
примером, рассмотренным в разд. 7.1, и смысл оператора, обратного
оператору (7.3.7), станут яснее, если к переменной s подойти с несколько
иной стороны. Вернемся к уравнению
(7.2.20). Оно допускает формальное решение
t
s = j ехр[Л5(/ - r)]P(u, s, <р, г) dr, (7.3-16)
где
s = s(u, (р, т).
(7.3.17)
Нелинейные уравнения. Принцип подчинения
239
По аналогии с (7.1.7) произведем интегрирование по частям. Для этого
предположим, что вектор-функция Р представима в виде
(7.2.11). Интегрируя по частям, воспользуемся тем, что каждый член
разложения (7.2.11) имеет вид
g(0Mu, s, ср). (7.3.18)
Отождествим g (/) с v, a h - с ay в хорошо известном соотношении
I v'wdt = vw- J vw'dt. (7.3.19)
• •
Подставляя вместо производных по времени и, ср правые части уравнений
(7.2.19), (7.2.21), запишем решение (7.3.16) в новом виде:
s = exp(As/) \ ехр (-Л8т) Р (и (/), s(u(t), <Р (t), 0. ф(0. т)й!т-
- сю
t т'
- ехр (Ast) J (Q dx' ^ exp (-Ast) P(u(t'),.. . , x)dx.
-сю -oo
(7.3.20)
Так как оператор (7.3.15) коммутирует с As, то во второй член правой
части в (7.3.20) можно подставить
1= ехр (Л/-Л/), (7.3.21)
после чего (7.3.20) перейдет в
t *
s - f ехр [As it - т)] Р (u (t), . . ., т)с1т- I ехр [As (t-т')] х
- оо -оо
xTQ-----------------------bR-dx' ) ехрГЛ (т'-т)]Р(и(т'), . . . , x)dx.
V ди Зф /т' -оо L J
(7.3.22)
Первый член в правой части (7.3.22) можно рассматривать как формальное
решение уравнения
~~ s = Л s+P (u, s, ср, t), (7.3.23)
dt s
где и, s, ср в правой части служат своего рода заданными параметрами. В
этом предположении формальное решение уравнения (7.3.23) представимо в
виде
5"(-5Г-Л-ГР- (7М4)
Следовательно, первый член в правой части (7.3.22) раскрывает
240
Глава 7
смысл обратного оператора А-1 и, пользуясь им, мы можем записать решение
(7.3.22) в виде
s=(~--------Л^-1Р(и(0, . . . , 0- j^expfAJf-О] х
х(ат^ + к1Ш^-л-ГРИт'> т')Л'
р(>> (U (Т'), . . . , X')
(7.3.25)
Продолжая интегрировать по частям и используя повторно интерпретацию
обратного оператора А-1, мы можем представить решение в виде
S=(- aV'P-f- Л VYq - н R -) х
V dt J V dt J V du Зф /
х(-^--Лв)_1Р+ • • • ¦ (7.3.26)
Нетрудно видеть, что это решение совпадает с полученным ранее решением
(7.3.11).
Упражнения. 1а) Докажите соотношение (7.3.9). Указание: умножьте правую и
левую части соотношения (7.3.9) слева на А + В и переставьте надлежащим
образом члены бесконечной суммы. 16) Докажите аналогичным образом
соотношение для остатка ряда (см. (7.3.12), (7.3.14))
оо
A~l Z ( - ВА-1У = (А+ВГ1-( - ВА-[)т+1, (7.3.27)
v=m+l
2) Докажите соотношение (7.3.9) повторным применением тождества
(.А + В)-1 = (А + В)-1 (А + В - В) А -1 = А-1 + (А + В)-1 (- В А-1).
(7.3.28)
7.4. Итерационный метод
До сих пор мы предполагали, что переменная s представима в виде функции
