Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
переменной ц так, что величина S в правой части (5.3.25) преобразуется к
виду
Комбинируя неравенство (5.3.30) с (5.3.17), получаем оценку
(5.3.5) (где С определяется выражением (5.3.6)), которую требовалось
доказать. Поскольку каждый член бесконечной суммы (5.3.3) аналитичен и
сама сумма ограничена (см. (5.3.5)) в области (5.3.4), вся сумма (5.3.3)
также аналитична в области (5.3.4).
Проделав это несложное упражнение, вернемся к нашей главной теме:
рассмотрим метод последовательных приближений, описанный в разд. 5.2, и
выясним, как обстоит дело с его сходимостью. Так как вектор-функция f(1>
в (5.2.24) построена из функций f,
(5.3.23)
(5.3.24)
Подставляя неравенство (5.3.24) в (5.3.18), получаем
? ехр (-21|m|| 6)|| m||v < (-)V - ? exp (-| my | 6 - | m2 [6 - . . . m
\ e J §v m
. . . - |mB|6)s=S. (5.3.25)
(5.3.26)
или после суммирования геометрической прогрессии
(5.3.27)
Так как
1-е~6 > 8е
(5.3.28)
и, следовательно,
(5.3.29)
приходим к окончательному результату
X ехр ( - 2II mil 6) || m ||v< (-У-~
m V e ) 6v+n
(1 +e)n. (5.3 30)
204
Глава 5
f и их производных (см. (5.3.2), (5.3.5), (5.3.7)), нетрудно вывести
оценки для функции f(1). Поскольку эти оценки несколько гро-моздки и в
приложении мы еще вернемся к их выводу в более общем случае, приведем
сначала результат оценки. Будет показано, что вектор-функция
f(1)(<p(1), Д(1)) (5.3.31)
аналитична в области
| Im {ф/!)) | < р-26 (5.3.32)
и удовлетворяет неравенству
(5.3.33)
где
Г" М2
Л41=--------------. (5.3.34)
/( б2п+2 v '
Здесь С" - скалярная постоянная, обладающая такой же структурой, как
(5.3.6), (5.3.8), М - постоянная из неравенства (5.3.2), К - постоянная,
входящая в условие КАМ, 6 - постоянная из
(5.3.4) или (5.3.32).
Рассмотрим теперь, как ведут себя два конкурирующих
("противоборствующих") процесса. Продолжая последовательные приближения,
мы переходим от Mj к Мг и т. д. Для того чтобы обеспечить
сходимость, постоянную 6 необходимо выбирать достаточно
большой. С другой стороны, мы не можем выбирать 6 сколь угодно большой,
так как при каждой итерации нам приходится соответствующим образом
изменять оценку (5.3.4). На первом шаге область определяется постоянной
Pl = Р - 26, (5.3.35)
на втором - постоянной
p2 = Pi -26i = 9 - 26 - 26! (5.3.36)
и т. д.
Так как каждая постоянная р* должна быть положительной, сумма по 6 не
может быть сколь угодно большой. Более удобно, однако, потребовать, чтобы
р* были ограничены снизу. Это позволит в любом приближении с гарантией
получать разумные оценки. Итак, нам все время приходится лавировать между
двумя противоречивыми требованиями: с одной стороны, постоянные 6 должны
быть достаточно большими, чтобы М/ (см. (5.3.34)) сходились, с другой -
постоянные 6 должны быть не слишком большими и даже стремиться к нулю.
Привлекательная особенность изложенного выше подхода и состоит в том, что
заведомо противоречивым требо-
Мир связанных нелинейных осцилляторов
205
ваниям удается удовлетворить и построить сходящиеся последовательные
приближения. Действительно, пусть (у< 1)
6 = v. Si = Y2, • • • , 8s = Y5+1. (5.3.37)
Выберем у так, чтобы р* -р/2 при k -> се, например
2(y + y2+ . . . +ys+ • • •)=-§-• (5-3.38)
Суммируя геометрическую прогрессию в левой части (5.3.8), получаем
6 = у=-?-(<1). (5.3.39)
4 + р
Теперь мы уже располагаем всем необходимым для того, чтобы вывести оценки
для следующих М,-.
Пусть Р = С"!К- Тогда неравенство (5.3.33) (с постоянной М, задаваемой
выражением (5.3.34)) запишется в виде
|f(1)|< Мг = Р- _**!_. (5.3.40)
1 g2n+2 4 '
Переходя от Мх к М2, необходимо заменить М постоянной Мх, а А - величиной
Aj, после чего мы приходим к оценке
Дальнейшее продолжение очевидно:.
I nil М2
I /(3) <М3 = Д 2-, (5.3.42)
1 . 62"+2
м
= (5.3.43)
Используя наш выбор постоянных 6S (см. (5.3.37)), оценку (5.3.43)
можно представить в виде
М2 -
АД+i = Р------^--------• (5.3.44)
T(s+1) (2п+2)
Обозначим для краткости
N = -L-, (5.3.45)
тогда
¦у2п+2
Л45+1 = PNs+1M2s. (5.3.46)
206
Глава 5
Выберем постоянную М достаточно малой для того, чтобы выполнялось
неравенство
PN2M < r0< 1. (5.3.47)
Кроме того, потребуем, чтобы Р > 1 (как видно из (5.3.40), для этого
постоянную К, входящую в условие КАМ, следует выбирать достаточно малой).
Тогда для рекуррентных формул (5.3.40) -
(5.3.43) справедливо соотношение
r2s
Ms<-1- • (5.3.48)
s ^ yys+a ' '
Оно говорит нам о том, что при достаточно малых г0 постоянные Ms сходятся
быстро - как (г$) в степени s. Поскольку постоянная М связана с г0
неравенством (5.3.47), тем самым доказано, что при достаточно малых М
последовательные приближения сходятся, как геометрическая прогрессия. На
этом наши соображения пока завершаются.
Глава 6
ОСЦИЛЛЯТОРЫ С НЕЛИНЕЙНОЙ СВЯЗЬЮ: СЛУЧАЙ, КОГДА КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКОЕ
ДВИЖЕНИЕ СОХРАНЯЕТСЯ
В этой главе мы изложим теорему, впервые доказанную Мозе ром и обобщающую
более ранние результаты Колмогорова и Арнольда. Задача, о которой идет
