Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
случая, когда п = т = 1.
Нас интересует ситуация, в которой квазипериодическое или, как в данном
частном случае, периодическое движение сохраняется
Рис. 6.1.3. Решение невозму- (Рис. 6.1.4. Стационарное
щенных уравнений = [решение невозмущенных
и после введения возмущений. Напомним (см. уравнения (6.1.7) и (6.1.8)),
что невозмущенные уравнения имеют вид
Они описывают равномерное вращение по углу ср(0) (ф(Ш = со*) и релаксацию
отклонения ?(0) к нулю, т. е. движение по спирали (рис. 6.1.3). В частном
случае при ф(0) = со*, |(0) = 0 оно вырождается в движение по окружности
(рис. 6.1.4). При включении дополнительных членов f и g в уравнения
(6.1.9) и (6.1.10) оба движения возмущаются и переходят в
Ad = 0,
AD = DA,
(6.1.13)
(6.1.14)
= a,im = -4l0).
уравнений (см. рис. 6.1.3).
(6.1.15)
(6.1.16)
!<*.= _ Я6(0).
Ф(1) = со + е/(ф(1), |(1), е), |(1,= - ^(,) + eg<yi,i е),
(6.1.18)
(6.1.17)
Осцилляторы с нелинейной связью
211
где функции fug 2л-периодичны по ф(1). Рассмотрим сначала случай ?<0) =
0, т. е. движение по окружности (рис. 6.1.4). Для того чтобы представить
себе наглядно, как происходит движение, воспользуемся адиабатическим
приближением, о котором говорилось
в разд. 1.13. Положим в уравнении (6.1.18) ?(1) = 0. При достаточно малых
е величину |(1) можно однозначно выразить через ф(1)> т. е. получить
соотношение
&<1>з.Й,) = /7(ф(1)). (6.1.19)
Рис. 6.1.5. Стационарное решение возмущенных уравнений (6.1.17), (6.1.18)
(качественная картина).
Рис. 6.1.6. Переходное решение возмущенных уравнений (6.1.17), (6.1.18)
(качественная картина).
(В действительности, как будет показано ниже, соотношение (6.1.19) может
быть получено и без адиабатического приближения, но для наших целей это
несущественно.) Соотношение (6.1.19) говорит нам о том, что окружность,
изображенная на рис. 6.1.4, деформируется в какую-то другую замкнутую
кривую (рис. 6.1.5). Следовательно, старая орбита ?(0) деформируется в
какую-то новую орбиту (6.1.19). Подставляя выражение (6.1.19) в уравнение
(6.1.17), получаем уравнение вида
ф(1) = (о+е/(ф(1), е). (6.1.20)
• м\
Оно говорит нам о том, что скорость вращения ф зависит от угла Ф(1>.
Следовательно, по крайней мере в общем случае период движения по
замкнутой траектории на рис. 6.1.5 отличен от периода движения по
окружности на рис. 6.1.4. Вводя подходящий контрчлен А в уравнение
ф = со + е/(ф, е) + Д, (6.1.21)
мы можем добиться, чтобы период возмущенного движения совпадал с периодом
невозмущенного движения (6.1.5) (рис. 6.1.4).
212
Глава 6
Рассмотрим аналог движения, представленного на рис. 6.1.3 (начальное
состояние несколько смещено относительно стационарного состояния ?(0) =
0, при t оо траектория стремится к ?<0) = = 0). Если величина е
достаточно мала, то дополнительный член g в уравнении (6.1.18)
деформирует спираль, изображенную на рис. 6.1.3, в спираль,
представленную на рис. 6.1.6, но качественно траектория ?(|) будет вести
себя так же, как траектория ?(0), т. е. релаксировать к стационарному
состоянию. Однако скорость релаксации может измениться. Если мы хотим,
чтобы реше-
Частъ траектории
Рис. 6.1.7. Локальные координаты относительно тора (схема). Мы различаем
координаты двух типов: 1) локальные координаты на торе (например, cpj0>);
2) координаты, отсчитываемые от тора (например,
На нашем рисунке (двумерный тор в трехмерном пространстве) было бы
достаточно одной координаты ?. Мы умышленно взяли две координаты ?, чтобы
наглядно продемонстрировать ситуацию, возникающую в пространстве большего
числа измерений с двумя линейно независимыми направлениями, ведущими от
тора.
Рис. 6.1.8. Деформированный тор с новой системой координат.
ние ?(1> (по крайней мере при достаточно малых ?(1>) релак-сировало с
такой же скоростью, что и ?(0), необходимо ввести контрчлен DtL, о
котором уже говорилось выше.
Основная идея метода, к описанию которого мы сейчас переходим, состоит в
следующем.
Вместо ф и ? мы хотим ввести новые переменные ф и % так, чтобы
зависимости |отф, представленные на рис. 6.1.5 и 6.1.6, снова перешли в
зависимости, представленные на рис. 6.1.4 и 6.1.3. Прежде чем мы обсудим,
как построить такое преобразование, рассмотрим, что произойдет при этом,
когда п > 2 и (или) т > 2. Все существенные особенности отчетливо видны в
случае п = 2 и (при надлежащей интерпретации) т = 2 (или т = 3). Как и
прежде, начнем с невозмущенного движения, описываемого уравнениями 6.1.7
и 6.1.8. В стационарном состоянии
|(0) = ?<0) = 0, и решения уравнения (6.1.7) можно представить наглядно,
построив их "график" в координатах фъ ф2, Последние можно рассматривать
как систему координат на торе (рис. 6.1.7).
Осцилляторы с нелинейной связью
213
При |(0) Ф 0, если матрица Л диагональна, т. е. имеет вид
А=Со1' -J- l'>0' <6Л-22)
уравнение (6.1.8) описывает релаксацию движения системы к тору.
Изменения, вызываемые введением в уравнение (6.1.10) дополнительного
члена g, станут более понятными, если воспользоваться адиабатическим
