Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
понять, частоты щ*, . . . , (оп рационально независимы.
2) Потребуем, чтобы при некоторых постоянных К и т, удовлетворяющих
неравенствам
0</С<1, т>0, (6.2.5)
неравенство
п m
+ ж (II j If +1)- (6-2.6)
v=l ц=1
*) Приводимая нами формулировка теоремы несколько отличается от
первоначальной формулировки Мозера.
216
Глава 6
выполнялось при всех целых числах, упоминавшихся в п. 1, для которых его
левая часть обращается в нуль. Условие (6.2.6) можно рассматривать как
обобщение условия КАМ. Подчеркнем, что под Jlill мы в данном случае
понимаем сумму
3) Потребуем, чтобы f и g в уравнениях (6.1.11) и (6.1.12) были 2п-
периодическими по ф и вещественнозначными и аналитическими по ср, 1, е.
Теперь мы уже располагаем всем необходимым для того, чтобы сформулировать
теорему Мозера.
Теорема 6.2.1. Если условия (1) - (3) выполнены, то существуют
единственные аналитические степенные ряды А (е), d (е), D (е),
удовлетворяющие требованиям (6.1.13), (6.1.14), и такие, что уравнения
(6.1.11), (6.1.12) обладают квазипериодическим решением с такими же
характеристическими числами coj, . . . , со", Ах, . . . , Ат, как
невозмущенное решение. Таким образом, теорема Мозера утверждает, что
существует преобразование координат вида
(6.1.24), (6.1.25), аналитическое по ф, % и е, которое переводит
уравнения (6.1.11), (6.1.12) в уравнения вида (6.1.26), (6.1.27). В
частности, формулы (6.1.30), (6.1.31) задают квазипериодическое решение с
характеристическими числами сох, . . . , со,,, А1( . . . . . . , А'т. Все
ряды A, d, D обладают ненулевым радиусом сходимости по е. В то время как
A, d, D определяются однозначно, u, v, V определяются лишь с точностью до
определенного класса преобразований (которые мы рассмотрим подробнее в
приложении А).
Далее наше изложение строится по следующему плану. В разд. 6.3 мы
покажем, каким образом контрчлены A, d, D, а также u, v и V можно
определить с помощью вполне алгоритмичного метода последовательных
приближений. Этот раздел представляет интерес в основном для тех, кто
намеревается применять излагаемый нами формализм к задачам, возникающим в
различных конкретных приложениях. В приложении А желающие могут найти
строгое доказательство теоремы Мозера. Решающее значение имеет то место
доказательства, где речь идет о сходимости метода последовательных
приближений, описанного в разд. 6.3.
6.3. Метод последовательных приближений
Исходным пунктом наших рассуждений являются уравнения
(6.1.11), (6.1.12), которые мы для удобства выпишем еще раз:
II j II-I ii I+1 /21 + • • • +1 in 1 •
<P = ю + ef (<p, I, e) + A,
1 = A| + eg (ф, I, e) + d + ?>!
(6.3.1)
(6.3.2)
Осцилляторы с нелинейной связью
217
Эти уравнения с помощью преобразований
<р = ф+еи(ф, е), (6.3.3)
S = X + e(vM>, е) + К(ф, е)х) (6.3.4)
требуется перевести в уравнения (6.1.26), (6.1.27).
Разложим u, v, V, A, d, D в степенные ряды по е и приравняем
коэффициенты при одинаковых степенях е в правых и левых частях уравнений
(6.3.1), (6.3.2). Для наших целей достаточно проанализировать уравнения,
получающиеся при приравнивании коэффициентов при первой степени е,
поскольку коэффициенты при старших степенях е порождают уравнения того же
вида. Как хорошо известно из других вариантов метода последовательных
приближений, уравнения в более высоких приближениях содержат коэффициенты
более низких порядков.
Выписывая в явном виде величины не выше первого порядка по е, получаем
Ф = ф + ей' + О (е2),
А = еА' + 0(е2), l = X + e(v' + K'x) + 0(e2), (6.3.5)
d = ed' + 0(e2),
D = eD' + 0(e2).
Подставим выражения (6.3.3), (6.3.4) в уравнение (6.3.1) и, используя
разложения (6.3.5), сохраним только члены первого порядка по е. Так как
уравнения (6.3.1), (6.3.2) векторные и некоторые вектор-функции, например
и, необходимо дифференцировать по параметру ф, который сам является
вектором, необходимо соблюдать особую осторожность с обозначениями.
Начнем с компонент векторов. Из уравнения (6.3.1) следует, что
Фи + еЕ (r)и + еМФ, Ъ 0) + еД^. (6.3.6)
V
Потребуем теперь, чтобы
Фи = (0н ПРИ е = 0, (6.3.7)
и введем для краткости следующее обозначение: будем рассмат-
ривать
(д"ц/дфу) (6.3.8)
как элемент с индексами р, v матрицы
щ. (6.3.9)
Нас будет интересовать частный случай соотношения (6.3.6), когда X =0.
Имея в виду уравнения (6.1.26), (6.1.27), потребуем, чтобьг
218
Глава 6
уравнение = соц выполнялось при % = 0 с точностью до членов порядка е.
Уравнения (6.3.6) нетрудно записать в виде одного векторного уравнения:
ща-A =f(^, 0, 0). (6.3.10)
Подставим теперь с учетом соотношений (6.3.5) разложения (6.3.3),
(6.3.4) в уравнение (6.3.2) и, сохранив только члены с точностью до е,
вернемся к покомпонентной записи уравнений. По правилу дифференцирования
сложной функции получаем для левых частей уравнений (6.3.2)
+ е Z (di? ОЙ/dilO + (ф)/дф?.) фд'/л, + Z (Ф) Ъ-
У,\
(6.3.11)
Правые части уравнений (6.3.2) имеют вид egnM>, X. 0) + е?(^д(ф, %,
0)/d%v)tv + ZKv%v +
V
