Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
чем ехр (| Рт |). Это - условие самосогласованное(tm), которое подлежит
проверке.
Интеграл в (7.1.5), как мы сейчас покажем, можно преобразовать так, чтобы
величина s в момент времени t зависела только от и при том же значении t.
7.1.1. Адиабатическое приближение
Вычислим интеграл в (7.1.5) по частям, т. е. по правилу
I vwdx = vw- J vwdx, (7.1.6)
отождествив v с ехр [- р (t-х) J, a w - с и2. Интегрируя по частям,
преобразуем (7.1.5) к виду
s (0 = -J- и2 (0 - JL { е-р ('-т)2 (ий)т dx. (7.1.7)
Р Р -оо
Рассмотрим случай, когда и изменяется столь медленно, что и допустимо
считать малой величиной. Тогда интегральным членом в (7.1.7) можно
пренебречь. Это и есть адиабатическое приближение, в котором
s(t)=-Lu2(t). (7.1.8)
Р
Решение (7.1.8) можно получить из (7.1.2), полагая просто
s= 0 (7.1.9)
в левой части уравнения (7.1.2). Выясним, при каких условиях интегралом в
(7.1.7) можно пренебречь по сравнению.с первым членом. Заменив величину
(ии)Т в подынтегральном выражении на
(ИЙ)тах, (7.1.10)
г) По начальным буквам английских слов unstable (неустойчивая) и stable
(устойчивая) мода.- Прим. перев.
226
Глава 7
вынесем максимальное значение (7.1.10) из-под знака интеграла. Оставшаяся
экспонента легко интегрируется, и мы получаем условие
( 1 и \\ ЧDmax ^ 1 U I2 П \ 11)
Р2 Р
Оно выполняется, если
|н|тах":Р|и|. (7.1.12)
Неравенство (7.1.12) раскрывает смысл адиабатического приближения: мы
требуем, чтобы величина и изменялась достаточно медленно по сравнению с
изменением, предписываемым постоянной затухания (3.
Покажем теперь, как s (t) можно выразить через и (t).
7.1.2. Исключение переменной
Чтобы наглядно продемонстрировать наиболее существенные особенности
нашего подхода, положим а = 0. Тогда уравнение
(7.1.1) примет вид
"=-us. (7.1.13)
Воспользуемся пока еще точным соотношением (7.1.7) и подставим в него
вместо и произведение -us из уравнения (7.1.13):
s(0= ^-"2(0 + 4- I е^('-х\иЦхйт. (7.1.14)
Р р -оо
Это - интегральное уравнение относительно s (0, так как s входит не
только в левую часть, но и в правую - в подынтегральное выражение при t
== т. Чтобы решить уравнение (7.1.14), воспользуемся методом
последовательных приближений, который в рассматриваемом случае сводится к
представлению неизвестной s степенями и. В первом приближении величину s,
входящую в правую часть интегрального уравнения (7.1.14), можно заменить
величиной и2 из приближенного соотношения (7.1.8). При этом уравнение
(7.1.14) будет иметь вид
s (t) = --- u2 (t) -I-- f p w4 (т)dx. (7.1.15)
W P W ' P Joo 4
Чтобы получить следующее приближение, проинтегрируем по частям выражение,
стоящее в (7.1.15) под знаком интеграла, по формуле (7.1.6), в которой
функцию и отождествим с экспонентой в (7.1.15):
s(9-^"2(0+-|г"4(0-^ (7.1.16)
/
Нелинейные уравнения. Принцип подчинения
227
Производную и под интегралом мы можем заменить на -us из уравнения
(7.1.13). Тогда
/ = -М (7.1.17)
Р3 J I Р Р2 /
ОО
Разобьем (7.1.17) на интеграл, содержащий и8, и другую часть, содержащую
члены еще более высокого порядка (ч. в. п.):
/= - j е~Р ('_Vdx + ч. в. п. (7.1.18)
р4 -оо
Интегрируя по частям, приходим к разложению
s(0= - и2+ - и* + + .... (7.1.19)
р р3 Р5
Итак, мы видим, что наш метод последовательных приближений позволяет,
неоднократно повторяя интегрирование по частям, представить s (t) в виде
разложения по степеням и (t) (значения функций s (t) и и (t) берутся при
одних и тех же t). При достаточно малых и можно надеяться, что ряд
сходится быстро и несколько первых его членов дают очень хорошее
приближение. Прежде чем мы приступим к выяснению сходимости нашего
метода, необходимо вывести несколько точных соотношений. Введем для
удобства следующие обозначения: запишем исходные уравнения (7.1.13),
(7.1.2) в виде
и - -us = Q(u, s), (7.1.20)
s =-ps + w2=-Ps + P(u, s). (7.1.21)
Заметим, что в рассматриваемом нами частном случае функция Р зависит
только от и:
Р = Р(и). (7.1.22)
Как видно из изложенного выше метода, величину s действительно можно
выразить через и:
s = s (и), (7.1.23)
поэтому в дальнейшем мы, не ограничивая общности, будем предполагать, что
такая подстановка произведена. Выведем для s(и) формальное разложение в
степенной ряд. Начнем с выражения (7.1.5), которое запишем в виде
t
s(u(t))= I B-p('-T)P(u)TdT. (7.1.24)
228
Глава 7
Как и прежде, проинтегрируем подынтегральное выражение по частям,
отождествив Р (и) с w. Дифференцирование Р (и) по времени выполняется по
правилу дифференцирования сложной функции: сначала Р (и) дифференцируется
по и, а затем и дифференцируется по времени. Но уравнение (7.1.20)
позволяет нам заменить
производную и функцией Q (и, s), в которой переменную s по крайней мере в
принципе можно считать функцией от и. Интегрируя по частям снова и снова
и используя каждый раз уравнение (7.1.20), приходим к разложению
s(u) = -Р(и)--------------Q - - Р +
w Р w Р 4 ди р
+ -rQih-гр+ • • •• (7Л-25)
Р ди р ди р
В следующем разделе нам понадобится сокращенное обозначение
