Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим неоднородные уравнения, соответствующие уравнениям (6.3.43) -
(6.3.45) при j = 0. Они имеют вид
Ясно, что уравнение (6.3.50) однозначно определяет А'. Из условия
(6.3.48), т. е. из соотношения
следует, что d' однозначно определяется уравнением (6.3.51). Аналогично
из (6.3.49) мы заключаем, что D' однозначно определяется уравнением
(6.3.52). А что можно утверждать о коэффициентах Uo, Vo, Vo? Как известно
из линейной алгебры, при ограничениях, выражаемых уравнениями (6.3.47) -
(6.3.49), векторы нулевого пространства могут быть выбраны произвольно. В
дальнейшем мы будем полагать их равными нулю, т. е. попросту "выбросим"
нулевое пространство. Здесь уместно остановиться и подвести итог тому,
что нам уже удалось достичь. Мы описали первый этап метода
последовательных приближений: приведение уравнений (6.3.1), (6.3.2) к
виду (6.1.26), (6.1.27) с помощью преобразований (6.3.3), (6.3.4). С этой
задачей мы справились, определив в низшем приближении и, v, V и
контрчлены A, d, D. Было показано в явном виде, каким образом можно
получить формальные решения выведенных нами уравнений. Продолжая
выполнять последовательные приближения, мы можем найти неизвестные
величины с точностью до любого заранее заданного порядка по е. Как будет
ясно из дальнейшего, вычислять A, d D особенно удобно, и те из читателей,
которые интересуются главным образом практическими приложениями
излагаемого метода, могут ограничиться приведенным выше алгоритмом.
С математической точки зрения необходимо ответить еще на следующие
вопросы.
1. В каждом приближении уравнения решались с помощью рядов Фурье.
Сходятся ли эти ряды? Вопрос о сходимости отнюдь
(6.3.50)
(6.3.51)
(6.3.52)
- Avo - d' = go.
-AV; + V0A-D' = gx 0.
Avo = 0,
(6.3.53)
Осцилляторы с нелинейной связью
223
не тривиален, так как, например, из уравнения (6.3.43) следует, что
U; = [i(j, (c))r'f/. (6.3.54)
т. е. мы сталкиваемся с проблемой малых знаменателей (см. разд. 2.1.3 и
2.5.2). В приложении А мы вернемся снова к этой проблеме и рассмотрим ее
на основе предположения об аналитичности функций f и g по ф и |.
2. Необходимо доказать сходимость избранного нами метода
последовательных приближений в целом. Это позволит пролить свет на выбор
векторов нулевого пространства в каждом приближении. Оказывается, что
любой выбор векторов нулевого пространства приводит к допустимому
решению, если е-сумма по векторам нулевого пространства сходится. В этой
связи мы покажем, что существуют классы допустимых преобразований
(6.3.3), (6.3.4), которые взаимосвязаны между собой. К рассмотрению всех
этих проблем мы также вернемся в приложении А.
Глава 7
НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ПРИНЦИП ПОДЧИНЕНИЯ
Основная цель этой книги состоит в изучении резких макроскопических
изменений систем. Как было показано во введении, такие изменения могут
наступить, когда система теряет устойчивость по линейному приближению. В
точке, где происходит потеря устойчивости, становится возможным исключить
очень большое число степеней свободы, поэтому макроскопическое поведение
системы зависит лишь от весьма небольшого числа степеней свободы. В этой
главе мы хотим показать в явном виде, каким образом вблизи точки, в
которой происходит потеря устойчивости по линейному приближению, можно
исключить большинство переменных. Такие точки потери устойчивости
называются критическими. Предлагаемый вниманию читателя метод прост и
охватывает большинство практически важных случаев. Основные идеи метода
мы покажем на простом примере (разд. 7.1), после чего изложим наш метод
для нелинейных уравнений в общем случае (разд. 7.2-7.5) Основные
предположения и допущения перечислены в разд. 7.2, окончательные
результаты приведены в разд. 7.4 (до формулы (7.4.5) включительно). Разд.
7.3 и конец разд. 7.4 посвящены вопросам, носящим более технический
характер. Остальную часть этой главы мы отводим обобщению принципа
подчинения на случай дискретных отображений с шумом и на стохастические
дифференциальные уравнения типа Ито (и Стратоновича) (разд. 7.6-7.9).
7.1. Пример
Рассмотрим следующие нелинейные уравнения относительно двух переменных и
и s:
u = au-us, (7.1.1)
s=-ps + u2. (7.1.2)
Предположим, что
a > 0, (7.1.3)
p>0. (7.1.4)
Если пренебречь нелинейными членами u-s и и2, то мы получим систему двух
не связанных уравнений, встречавшихся нам при ана-
Нелинейные уравнения. Принцип подчинения
225
лизе устойчивости по линейному приближению. Ясно, что и - мода,
нейтральная или неустойчивая по линейному приближению, as - устойчивая
мода. Именно поэтому мы и выбрали такие обозначения *) . Покажем, что
переменную s можно выразить через и, исключив тем самым s из уравнений
(7.1,1), (7.1.2). Уравнение
(7.1.2) легко интегрируется в квадратурах:
t
s(t)= { e~^{t~T) u2(x)dx (7.1.5)
-oo
(такая запись решения означает, что мы выбрали начальное условие s = 0
при t = - оо). Интеграл в правой части (7.1.5) существует, если величина
| и (т) |2 ограничена при всех т или расходится при т -> - оо медленнее,
