Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хакен Г. -> "Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах" -> 76

Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.

Хакен Г. Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах — М.: Мир, 1985. — 424 c.
Скачать (прямая ссылка): sinergetikaierarhiineustoychivostey1985.pdf
Предыдущая << 1 .. 70 71 72 73 74 75 < 76 > 77 78 79 80 81 82 .. 152 >> Следующая

приближением, позволяющим выразить s)1', через ф1°, фг0:
= = Ф21'), (6.1.23)
Й1)-Й,.>о = лЫ,\ чП
Ясно, что первоначальный тор при этом деформируется в некоторую новую
поверхность (рис. 6.1.8). На этой поверхности равномерное вращение по
паралеллям cpf' и меридианам ср20) заменяется неравномерным движением по
координатам ср)1*, ср^, обусловленным появлением в уравнении (6.1.9)
дополнительного члена f. Это означает, что соответствующие периоды Тг и
Т2, вообще говоря, изменятся. Чтобы компенсировать изменения периодов и
сохранить их первоначальные значения, необходимо ввести контрчлены Дц А2.
Рассмотрим теперь релаксацию g)0, ?2° к деформированной поверхности. Если
первоначально прямоугольная система координат ?i0), |20) по построению
(или наглядному представлению нашей системы как точки, движущейся по
поверхности тора) равномерно вращалась по cpl0i и ср20) при обходе тора,
[то Н}1*, могут образовывать новую систему координат, которая не будет
ортогональной. Скорости релаксации Н)1', ^ отличны от А,! из-за
дополнительного члена g в уравнении (6.1.10). Контрчлен D\ позволяет
исправить локально деформированную систему координат |V\ Е21); сделать ее
снова ортогональной и восстановить первоначальные скорости релаксации.
Если матрица Л имеет комплексные (или чисто мнимые) собственные значения,
то матрица D позволяет сохранить неизменной первоначальную матрицу Л, в
то время как вектор d позволяет исправить (в смысле среднего) деформацию
тора. Таким образом, дополнительные члены f, g и контрчлены деформируют
траектории тремя способами:
1) искажается локальная система координат q> на торе (рис. 6.1.9, а);
2) изменяются радиальные перемещения, или, более общо, положения,
элементов поверхности тора (6.1.9, б);
3) изменяется направление осей системы координат | (рис. 6.1.9, в).
Естественно попытаться ввести преобразование координат, которое учитывало
бы все три типа деформации и позволяло перехо-
214
Глава 6
дить от деформированных траекторий, описываемых уравнениями
(6.1.11), (6.1.12), к недеформируемым траекториям, описываемым
уравнениями (6.1.7) и (6.1.8). Для этого выразим ср и § через новые
координаты ф и %. Рассматривая движение по координате 10, выберем ф в
виде
Ф = ф + еи(ф, е). (6.1.24)
Выражение (6.1.24) учитывает, что скорость вращения не равномерна, а
изменяется по мере вращения. Коэффициент е перед и указывает в явном
виде, что второй член в правой части (6.1.24) стремится к 0, и,
следовательно, ф совпадает в пределе с ф, если стремится к нулю е в
уравнениях (6.1.11), (6.1.12). Что касается 1, то необходимо иметь в виду
следующее: деформированная траектория отличается от неде формированной
(рис 6.1.7) растяжением в радиальном направлении и поворотом локальной
системы координат. Следовательно, мы можем предположить, что
1 = Х + еу(ф, е) -f eV (ф, е)х,
(6.1.25)
где v - учитывает растяжение в радиальном направлении, а член V-Х
описывает поворот локальной системы координат. Так как ф - угловая
переменная, потребуем, чтобы u, v и V были периодическими по
ф с периодом 2я. Кроме того, функции u, v и V должны
быть аналитическими по ф, 1 и е. Покажем, что при под ходящем
выборе u, v, V и контрчленов A, d, D уравнения (6.1.11), (6.1.12) можно
преобразовать в уравнения относительно новых переменных ф и х.
описывающие "недеформированные траектории" (рис. 6.1.7) и имеющие вид
Ф = <о + 0(х), (6.1.26)
Х = Лх + 0(х2), (6.1.27)
Члены О содержат те величины, которыми мы пренебрегаем, О (х*) означает
аналитическую функцию от ф, е, обращающуюся в
нуль при х = 0 вместе с производными по х Д° порядка k-1
> 0.
Короче говоря, нас интересует преобразование, переводящее уравнения
(6.1.11), (6.1.12) в уравнения (6.1.26), (6.1.27) с точностью
Рис. 6.1.9. Локальные изменения, вызванные деформацией тора, а - новые
координаты на торе; б - смещение элементов тора; в - изменение системы
координат, отсчитываемых от тора.
Осцилляторы с нелинейной связью
215
до членов, обозначенных через О. В частности, при
Х = 0 (6.1.28)
решение уравнения (6.1.26) имеет вид
q = (6.1.29)
(с точностью до произвольной постоянной ф0). Подставляя выражения
(6.1.18), (6.1.29) в (6.1.24), (6.1.25), получаем
Ф = <о^ + ей (<о^, е), (6.1.30)
l=ev(€< е), (6.1.31)
т. е. приходим к квазипериодическому решению.
6.2. Теорема Мозера (теорема 6.2.1) 1
Итак, мы наметили общий ход доказательства. Для того чтобы воспроизвести
доказательство полностью, необходимо принять некоторые допущения.
Перечислим их. Нас будут интересовать уравнения (6.1.11), (6.1.12).
Предположим, что матрица Л в уравнении
(6.1.12) диагонализуема, и обозначим через Лц ее собственные значения.
1) Рассмотрим выражения
iZl>v+f*A (6.2.1)
v=l 11=1
при
?1М <2 (6.2.2)
и
ИМ<1 (6-2.3)
с целочисленными компонентами
(/Х> ii> • • • " jn)~ (^li ^-2i • • • I km) : (6.2.4)
Потребуем, чтобы в нуль обращалось лишь конечное число выражений (6.2.1),
а именно те, для которых j = 0. Тогда, как нетрудно
Предыдущая << 1 .. 70 71 72 73 74 75 < 76 > 77 78 79 80 81 82 .. 152 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed