Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
речь, включает в себя в качестве частных случаев задачи, рассмотренные в
разд. 3.9, 5.2 и 5.3. Как мы уже знаем, система линейно связанных
гармонических осцилляторов может совершать колебания на нескольких
основных частотах так, что совместное движение всей системы оказывается
частным случаем квазипериодического движения. В этой главе мы попытаемся
ответить на важный вопрос: могут ли нелинейно связанные осцилляторы также
совершать квазипериодическое движение? Сами осцилляторы при этом могут
быть не только линейными, но и нелинейными.
6.1. Постановка задачи
Поясним основную идею на простейшем примере одного осциллятора,
описываемого амплитудой г и фазой ср. В случае линейного (гармонического)
осциллятора уравнения движения имеют вид
Ф-со, (6.1.1)
*=0. (6.1.2)
Во многих практических приложениях, например в радиотехнике или
гидродинамике, приходится рассматривать осциллятор, совершающий
незатухающие колебания. Амплитуда г такого осциллятора удовлетворяет
нелинейному уравнению, например
(-аг-р г". (6.1.3)
Если уравнение (6.1.2) допускает решения с произвольной не за' висящей от
времени амплитудой г, то уравнение (6.1.3) допускав7 лишь вполне
определенное решение с амплитудой, не зависящей от времени:
Г = го - Р>0 (6.1.4)
гсмгмо неустойчивого решения г = 0).
208
Глава 6
Как хорошо известно [1], уравнения (6.1.1) и (6.1.3) могут описывать
движение частицы в потенциале, образующемся при вращении плоской кривой с
частотой со, с сильным затуханием по радиусу г. Из рис. 6.1.1 видно, что
амплитуда г (t) движения частицы всегда будет релаксиро-вать к значению
г0, определяемому по формуле (6.1.4).
Если нас интересуют малые отклонения г от г0, то удобно ввести переменную
г = г0+^ (6.1.5)
и вывести для \ линеаризованное уравнение
( = - 2а% +0(%2). (6.1.6) В дальнейшем мы будем отбрасывать член О (?2),
указывающий на функцию от | порядка Ё2 и выше. Решения уравнений
(6.1.1) и (6.1.3), (6.1.6) можно наглядно представить себе с помощью
плоской потенциальной кривой - осевого сечения тела вращения,
изображенного на рис. 6.1.1. В полярной си-
стеме координат на плоскости траектории частиц выглядит так, как
показано на
рис. 6.1.2. На рис. 6.1.2, а движение частицы стационарно. На
рис. 6.1.2, б видно, что если начальное значение ? выбрано отлич-
ным от пуля, то система релаксирует к \ - 0.
Приведенные выше элементарные соображения допускают обобщение на систему
осцилляторов и на более общий случай, когда число частот со 1; со2, . . .
, со" отличается от числа смещений по амплитуде |г, . . . , |т. Уравнения
(6.1.1), (6.1.6) переходят при этом в уравнения
Рис. 6.1.1. Физический смысл решения уравнений (6.1.1) и (6.1.3): частица
движется с сильным затуханием по радиусу в потенциальной яме, имеющей
форму тела вращения. Стенки ямы вращаются с угловой частотой со.
ф(0, = о,
6(0) = Л6'
(0)
(6.1.7)
(6.1.8)
где мы воспользовались очевидными векторными обозначениями. Матрица Л по
предположению диагонализуема, но, поскольку вектор |(0) мы считаем
вещественным, в общем случае нельзя предполагать, что матрица А полностью
диагонализована. Обратим внимание на то, что уравнение (6.1.7) имеет
такой же вид, как невозмущенное (при е = 0) уравнение (5.2.1), в то время
как уравне-
Осцилляторы с нелинейной связью
209
ние (6.1.8) по виду совпадает с невозмущенным (при М0 - 0) уравнением
(3.9.10).
Введем теперь нелинейную связь между частотами ш и отклонениями амплитуд
§, т. е. рассмотрим уравнения вида
(jp(I) = <a + ef (ф(|), 1(1), е), (6.1.9)
|(1) = А1(1)+е6(ф(1), 1(1>, е), (6.1.10)
Рис. 6.1.2. а -стационарное решение уравнений (6.1.1), (6.1.3); б
-
переходное решение тех же уравнений: | релаксирует к нулю при t -*¦ оо.
где f и g - функции, периодические по ф/0 с периодом 2л. По причинам
математического характера мы будем предполагать в дальнейшем, что функции
f и g - вещественнозначны и анали-тичны по ф(1), 1(1) и е, где е - малый
параметр.
Как показано в разд. 5.2, дополнительный член f может приводить к
изменению основных периодов Т/ - 2л/а/. По тем же причинам, о которых
говорилось в разд. 5.2, в уравнение (6.1.9) необходимо ввести контрчлен -
постоянный вектор, гарантирующий неизменность основных периодов даже при
учете возмущающего действия члена f. Тем самым мы приходим к уравнениям
вида
<р = <й + ef (ф, I, е) + А, (6.1.11)
где А - добавленный нами контрчлен.
Кроме того, мы хотим, чтобы матрица Л оставалась неизменной при учете
возмущения eg. Оказывается, что для этого в уравнение (6.1.10) необходимо
ввести другой контрчлен, который надлежит выбирать в виде d + D%, где d -
постоянный вектор, D - постоянная матрица. В результате уравнение
(6.1.10) перейдет в уравнение
I = Л1 + eg (ф, 1, e) + d + DS.
(6.1.12)
210
Глава 6
Из последующих математических преобразований будет видно, что на d и D
можно наложить требования
Попытаемся наглядно представить себе, к чему приводит включение в
уравнения возмущений f и g и контрчленов A, d и D. Начнем с рассмотрения
