Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
параметров порядка и принцип подчинения позволяет исключить все
"подчиненные" переменные. Включение флуктуирующих сил не нарушает
процедуру исключения переменных, и мы приходим к уравнениям для
параметров порядка с флуктуирующими силами. Такие уравнения для
параметров порядка могут быть типа уравнений Ланжевена-Ито или
Стратоновича. Эти уравнения, вообще говоря, нелинейны, и вблизи
критических точек нелинейность не становится пренебрежимо малой. С другой
стороны, часто бывает достаточно учесть лишь главный член нелинейности.
Наиболее изящный подход к решению такого рода задач состоит в
преобразовании уравнений для параметра порядка типа уравнения Ланжевена-
Ито или Стратоновича в уравнение Фоккера-Планка. За последние десятилетия
эта программа была реализована на различных системах. Выяснилось, что во
многих случаях, когда возникают пространственные структуры, принцип
детального равновесия на уровне уравнений для параметров порядка
обусловлен соотношениями симметрии. В подобных случаях удается оценить
распределение вероятности, с которой реализуются отдельные конфигурации
при определенных значениях параметров порядка и,-. В свою очередь это
позволяет вычислить вероятность образования тех или иных пространственных
структур и найти устойчивые конфигурации по минимуму V (и) в
f(u) = jfe-vw,
где V (и) (= Ф) - потенциал, задаваемый уравнением (10.4.40)
Глава 11
ДИСКРЕТНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ С ШУМОМ
В этой главе мы рассмотрим дискретные отображения с шумом, о которых
упоминалось во введении. В первых разделах мы покажем, каким образом
результаты, полученные нами ранее для дифференциальных уравнений,
обобщаются на дискретные отображения, а в разд. 7.7-7.9 - как обобщается
принцип подчинения. Затем читатель познакомится с дискретным аналогом
уравнения Фоккера-Планка (разд. 10.2-10.4), и в заключение мы введем
интегралы по траекториям и покажем, каким образом с их помощью можно
найти дискретный аналог решений временного уравнения Фоккера-Планка.
11.1. Уравнение Чепмена- Колмогорова
Рассмотрим n-мерное отображение (n-мерных) векторов состояния q*. Как мы
увидим из дальнейшего, излагаемый нами метод целиком переносится на
случай непрерывно распределенных переменных. Предполагается, что вектор
q* удовлетворяет разностному уравнению
q*+i = /M + GMri*, (11.1.1)
где f - нелинейная функция, а матрица G допускает разложение в сумму
G = H + M(q*). (Ц.1.2)
Матрица А не зависит от переменных q* и вместе со случайным вектором %
описывает аддитивный шум. Матрица М - функция вектора состояния q* и
вместе с tj* порождает мультипликативный шум. Требуется вывести уравнение
для плотности вероятности в момент времени k + 1, задаваемой соотношением
P(q, *+l)=<6(q-qft+i)>. (11.1.3)
Усреднение производится по случайным траекториям, которые описывают концы
векторов qk' в результате систематического движения и флуктуаций т. е.
P(q, fe+l) = IdniIdV(q-f(l)-G(|)T1)iy(Tl)P(l, k), (11.1.4)
где W (ч) - произвольная функция распределения амплитуды
350
Глава 11
шума tj (W может зависеть от номера шага k, но для простоты мы не будем
рассматривать эту зависимость).
Чтобы вычислить интегралы в (11.1.4), введем переменную ц':
4' = G(g)4- (П.1.5)
Подстановка (11.1.5) переводит (11.1.4) в
Р (q, *+l) = Id"6j'A'D(grI6(q-f(S)-ri')^(G-,(S)V)^(S, Q,
(11.1.6)
где D = det G. Интегралы в (11.1.6) легко берутся, если воспользоваться
свойствами 6-функции, и мы приходим к окончательному результату -
уравнению Чепмена-Колмогорова:
Р (q, *+l) = Id"6D(SrV((TI(S)[q-f(|)])P(S,*). (11.1.7)
11.2. Влияние границ. Одномерный пример
В приведенных выше рассуждениях мы неявно предполагали, что либо область
значений, принимаемых компонентами вектора q, простирается от - оо до +
оо, либо функция распределения W сосредоточена на носителе, размеры
которого малы по сравнению с длиной интервалов, на которых осуществляется
отображение. Если эти неявные допущения не выполняются, то необходимо
учитывать влияние границ. Решение этой проблемы не сопряжено с
преодолением каких-либо принципиальных трудностей, но довольно громоздко,
и мы ограничимся тем, что продемонстрируем его основные идеи в одномерном
случае.
Начнем с уравнения
P(q, k+l)= k)W(y\), (11.2.1)
a
где
a^q^b, (11.2.2)
q = fKl) + T). (11.2.3)
Из соотношений (11.2.2), (11.2.3) следует, что
a-/(g)<i|<ft-/(g). (11-2.4)
При интегрировании по т) в (11.2.1) необходимо учитывать гранич-
ные значения (11.2.4). Чтобы гарантировать сохранение вероятности, т. е.
ь
f Р (q, k)dx= 1 (11.2.5)
а
при всех k, функцию распределения W (п) необходимо нормировать
Дискретные отображения с шумом
351
на интервале (11.2.4). Для этого мы должны ввести нормирующий множитель
JP, зависящий от f (?):
ь-f (I)
f W (rj) dr) = Jf-1 {f (?)). (11.2.6)
a- f (I)
Таким образом, мы вынуждены ввести в уравнение (11.2.1) вместо W (ц)
функцию
W(i\\ f(l)) = JP(f(l))W(r\). (11.2.7)
Имея это в виду, мы можем преобразовать уравнение (11.2.1) к виду
