Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
Еще одна важная проблема состоит в следующем. Предположим, что система
первоначально приготовлена в состоянии и+. Сколько времени потребуется
системе, чтобы впервые перейти в состояние "_? Это частный случай так
называемой задачи о времени первого выхода на границу, допускающей
строгое аналитическое решение. Мы рассмотрим задачу о времени первого
выхода на границу в разд. 11.6 при рассмотрении более общего уравнения
Чепмена- Колмогорова для дискретных отображений. Обратимся к задаче о
построении приближенных зависящих от времени решений уравнения (10.2.1) с
помощью линеаризации. Достаточно рассмотреть случай Х>0 (случай Х<0
рассматривается аналогично). Используя подстановку
и = и0 + 'ц (10.2.13)
и пренебрегая нелинейными членами, преобразуем уравнение (10.2.10) к виду
7= --М-2 w)+-2-frf,
dr| 2 дг|2
где f = 7 (л) = f ("о + л)-
Выбирая начальное условие
f(f = 0) = 6(т1 -ть),
получаем решение [1]
ГСП, /) = [ла(0Г12ехр {- [г]-b(t)f/a(t)},
где
а(0= ехр(-4М)],
b (!) --- b (0) ехр (-2?J).
10.3. Численное решение уравнения Фоккера- Планка для комплексного
параметра порядка
В этом разделе мы рассмотрим ветвление не зависящего от времени решения
для случая, когда вещественная часть комплексного собственного значения
становится положительной (см. разд. 8.4, в особенности (8.4.9)).
Подстановкой
u(t)->u(t)eiai. <а==Г, (10.3.1)
(10.2.14)
(10.2.15)
(10.2.16)
(10.2.17)
(10.2.18)
332
Глава 10
приводим уравнение для параметра порядка к виду
w = p(n-\и \2)u + F(i), (10.3.2)
где F (t) удовлетворяет условиям (10.2.2) и (10.2.3). Вводя
поляр-
ные координаты
u = re~i<r, (10.3.3)
мы можем получить следующее уравнение Фоккера-Планка:
- -jr\&-r*)rW] = Q Г-J-f-fr-f-U
dt г dr L г Or \ Or J
(10.3.4)
г* д ф2 J '
(Для этого лучше всего записать уравнение Фоккера-Планка для вещественной
и мнимой части параметра порядка и и преобразовать полученное уравнение к
полярным координатам по формуле
(10.3.3).)
Чтобы избавиться от лишних постоянных, введем новые переменные и
постоянную, определив их следующим образом:
r = \fWr, 't=VWQt, а = УЩп. (10.3.5)
В результате такой подстановки уравнение Фоккера-Планка
(10.3.4) примет вид
dW ,1 d г/ 'YTtwI 1 д /~ dW \ . 1 d*W
+ -- L(fl -ra)r^J= -------------(г -^) + - - •
dt г dr г dr \ dr J г дф"
(10.3.6)
Функция
jT ( 74 I 72 "l
W{r)= ехр b а-I,
4 7 2я *Л 4 2 /
0° , Л Л Ч
-L-=j'rexp (--I^+a^-jdr (10.3.7)
о
{JF-нормировочный коэффициент), как нетрудно проверить, есть стационарное
решение уравнения (10.3.6).
Для того чтобы получить корреляционные функции, например, типа (10.2.8),
необходимы нестационарные решения уравнения Фоккера-Планка. Поскольку в
общем случае аналитические выражения, которые удовлетворяли бы уравнениям
Фоккера-Планка, неизвестны, для получения решений приходится прибегать
либо к приближенным (например, вариационным) методам, либо к довольно
утомительным численным расчетам на ЭВМ. Последние позволяют получать
решения с высокой точностью. Результаты некоторых из таких расчетов мы
сейчас приведем.
Влияние шума
333
Заметим, что уравнение (10.3.6) сводится к одномерному уравнению
Шредингера. Действительно, полагая
°° Г / ¦'-'4 ^2 \
(/> ф, Yj Апт ~~rt exp("i" +а~)Чпт{г)
W>............
т=0 п --оо
х
У г
X ехр (ш<р - КтО' (Ю.3.8)
получаем уравнение
Y;m + I>nm- V"(?)]Tftn, = 0 (10.3.9)
для собственных функций Ч''пт ~ Ч''_nm и собственных значений ^пт - ^-пт-
Численные значения к приведены в табл. 10.3.1.
Таблица 10.3.1. Собственные значения и матричные элементы при различных
значениях параметра накачки а
а V,L м, У. О м2 ?.i" М3 X,, 1 М,
10 19,1142 0,4614 19,1237 0,4885 34,5184 0,0212
35,3947 0,0226
8 14,6507 0,4423 14,9666 0,4622 23,6664 0,0492
28,3894 0,0344
7 12,0787 0,4085 13,0891 0,4569 20,0129 0,0895
26,4382 0,0354
6 9,4499 0,4061 11,5823 0,4459 18,0587 0,1132
25,6136 0,0287
5 7,2368 0,4717 10,6059 0,4095 17,3876 0,0980
25,8079 0,0179
4 5,6976 0,5925 10,2361 0,3344 17,6572 0,0634
26,9004 0,0086
3 4,8564 0,7246 10,4763 0,2387 18,6918 0,0330
28,7914 0,0033
2 4,6358 0,8284 11,2857 0,1553 20,3871 0,0151
31,3963 0,0011
0 5,6266 0,9370 14,3628 0,0601 25,4522 0,0028
38,4621 0,0001
Потенциал Vn (г) (рис. 10.3.1) определяется выражением
+(-7--2Уг2--г7* + ~г' (10-зл°)
Нетрудно видеть (см. (10.3.7) и (10.3.8)), что
Ч's/Nr ехр (- r4/8 + ar2/4) (10.3.11)
- собственная функция, соответствующая собственному значению к00 = 0.
Первые пять собственных функций, вычисленных на ЭВМ, представлены на рис.
10.3.2. Зависимость собственных значений от параметра накачки а показана
на рис. 10,3.3.
334
Глава 10
Из уравнения Шредингера (10.3.9) следует, что собственные функции Ynm при
рЭЗЛИЧНЫХ ГП ОрТОГОНЭЛЬНЫ. ЕСЛИ Ynm НОрМИ-рованы на единицу, то
оо
f 4nmCr)Wnm.(?)dr = 8mm'. (10.3.12)
о
Рис. 10.3.1. Потенциал V0 (г) уравнения Шредингера (10.3.9) при трех зна.
чениях параметра накачки (сплошные кривые) и Уг (г) при а = 10 (штриховая
кривая). [Из работы: Risken Н., Vollmer Н¦ D., Zs. Phys., 201, 323
