Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
P(q, *+l) = J dtW(q-f(t))jr(fmP(t, Щ. (11.2.8)
а
Это тоже уравнение Чепмена-Колмогорова.
11.3. Совместная вероятность и вероятность первого выхода на границу.
Прямые и обратные уравнения
В дальнейшем мы будем использовать следующее уравнение Чепмена-
Колмогорова:
Р (q, k + 1) = .[ <ПК (q, I) P (1, k). (11.3.1)
s>
Ядро К имеет вид
К(q, l) = D-1(l)^(f(l))^(G-1[q-f(l)])> (11-3.2)
D = det G. Здесь W - распределение вероятности случайного вектора rj, Jf
- надлежащим образом выбранный нормировочный множитель, роль которого
состоит в том, чтобы обеспечивать замкнутость области ЯЬ (флуктуации не
должны выводить систему из 2)) и сохранение вероятности, т. е.
jdnqK(q, 1) = 1- (П.З.З)
з>
Для полного описания марковского процесса, лежащего в основе отображения
(11.1.1), необходимо рассмотреть совместную вероятность
РЛq, k\ I, k!) {k>k') (11.3.4)
здесь "временной" индекс k связан с q, a k' относится к 1. Совместную
вероятность Р2 можно выразить через вероятность первого выхода на границу
р (q, k\%, k') и плотность вероятности Р (q, k) следующим образом:
Р2 (q, k] I, k') = p (q, k ||, k') P (6, k'). (11.3.5)
в случае стационарного марковского процесса ядро (11.3.2) не за-
352
Глава 11
висит явно от временного индекса ft, что приводит к дополнительному
соотношению
Р (q, k\l, ft') = p( q il; k-k'). (11.3.6)
Чтобы вывести уравнение, обращенное вперед, для вероятности перехода
проинтегрируем (11.3.5) по 1:
Р (q, k)= Jdnip( q, k\l, k)P{ 1, ft'). (11.3.7)
a>
Уравнение, которое мы хотим вывести, следует из уравнений
(11.3.7) и (11.3.1) (необходимо лишь иметь в виду, что начальное
распределение может быть выбрано произвольно):
р (q, k + l\%,k')= J/C (q, z)p(z, k\\, k')dnz. (11.3.8) s>
Заметим также, что наряду с уравнением (11.3.7) выполняется уравнение
Р (q, k)= J'dn|p( q, k\\, ft' + l) P(%, k' + l). (11.3.9)
s>
Вычитая уравнение (11.3.9) из уравнения (11.3.7) и используя то, что Р
(1, ft' + 1) удовлетворяет уравнению (11.3.1), мы приходим к равенству
J'd"6[p( q, ft II, k)p{l, k)-
a>
- f dnzp (q, ft |1, ft' + l)K{l, z) P (z, ft')] = 0. (11.3.10)
a>
Переобозначая переменные во втором члене (z <->¦ 1) и изменяя порядок
интегрирования, получаем уравнение
р (q, ft |1, ft')= ,| dnzp (q, ft | z, k'+l)K(z, i). (11.3.11)
a>
И в этом случае мы использовали произвол в выборе начального
распределения Р (Е, ft'). Уравнение (11.3.11) есть уравнение, обращенное
назад, для вероятности первого выхода на границу р. Уравнения (11.3.8) и
(11.3.11) завершают описание процесса (11.1.1) в терминах распределений
вероятности. Моменты, корреляционные функции и другие характеристики
распределений могут быть найдены, как обычно.
11.4. Связь с интегральным уравнением Фредгольма
Введем для стационарного распределения специальное обозначение
P.(q) = P(q, ft) (П.4.1)
Дискретные отображения с шумом
353
и запишем в новых обозначениях уравнение (11.1.7):
Ps(q)=$dnlK(q,t)Ps(r), (11.4.2)
где ядро определяется соотношением (см. (11.3.2))
/C(q, l) = D(l)-W (G-1 (1) [q -f (1)]). (11.4.3)
Уравнение (11.4.2) есть не что иное, как однородное интегральное
уравнение Фредгольма. При рассмотрении переходных состояний нам
понадобятся соответствующие собственные функции. Их мы найдем, положив
Р,(q, k) = %~k (q). (11.4.4)
Подстановка (11.4.4) также преобразует уравнение (11.1.7) в интегральное
уравнение Фредгольма
Рл(ч)=ь1АК(ч, DPAD- (11-4.5)
Решение, зависящее от k, можно представить в виде
Р (Я, *) = 1сЛ-'Р,Ля). (П-4.6)
11.5. Решение в виде интеграла по траекториям
Начнем с уравнения (11.1.7), записанного в виде
P(q, k+l) = $dnlK(q, k). (11.5.1)
Итерируя его при k = 1, 2, ... , получаем
Р (q, k + 1) = J d^qk . . . d qxX X К (q, qk)K{qk, q*-j) . . . A' (q3,
qi) P (qb 1). (11.5.2)
Выражение в правой части (11.5.2) можно рассматривать как ин-
теграл по траекториям. Для того чтобы (11.5.2) привести в согласие с
традиционным определением интеграла по траекториям, будем считать W
гауссовым распределением. Не ограничивая общности, предположим, что
lT(q) = ^exp( - qAq), (11.5.3
где А - диагональная матрица с элементами aj на главной диагонали. Вводя
преобразование Фурье функции распределения (11.5.3), преобразуем (11.5.2)
к виду
Р (q, k+l) = \Dq \ Ds'[lD(qi)-1exp[ . . . ], (11.5.4)
z= 1
где
Dq = П dnqh /= 1
k
= П [(1/(2я)) dn S;],
354
Глава 11
[. . . ] = ? ?s/{G-1(q,)[q,+a-f(q,)]}--------^?s?, (11.5.5)
=i 4 /=l
Qft+i = q. s/= (%/| аг I, s/2/|a2|, . . . ).
11.6. Среднее время первого выхода на границу
Одно из наиболее важных применений уравнение (11.3.11), обращенное назад,
находит при решении проблемы среднего времени первого выхода на границу.
В этом разделе мы выведем неоднородное интегральное уравнение для
условного времени первого выхода на границу, которое будет определено
ниже. Будем считать процесс стационарным (см. (11.3.6)). Точная
постановка задачи состоит в следующем. Пусть Т - замкнутая подобласть в
2D, и пусть система первоначально сосредоточена в области Т с
