Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хакен Г. -> "Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах" -> 127

Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.

Хакен Г. Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах — М.: Мир, 1985. — 424 c.
Скачать (прямая ссылка): sinergetikaierarhiineustoychivostey1985.pdf
Предыдущая << 1 .. 121 122 123 124 125 126 < 127 > 128 129 130 131 132 133 .. 152 >> Следующая

приходим к неравенству (П. 1.3).
В разд. 6.3 нами было введено нулевое пространство оператора L. Условимся
в дальнейшем обозначать это нулевое пространство через jf. Пространство
функций F можно разложить в сумму нулевого пространства Jf и остаточного
пространства, которое мы будем считать вещественным и обозначим 52.
Сформулируем теперь следующее утверждение.
Лемма П. 1.2. Пусть функция F 6 52 и аналитична в| Im {я|+ |<г. Тогда
единственное решение уравнения
LU = F, U (П. 1.6)
Доказательство теоремы Мозера
365
аналитично в той же области. Если 1, то для U справед-
лива оценка
"и1ИТ(7^Г||Р|!г' (ПЛ'7)
где с зависит только от п, т, т, а а = т + 1.
Доказательство. Для наших целей достаточно доказать лемму только для а =
т + п, п > 2.
Поскольку оператор L действует покомпонентно на различные члены ряда
Фурье, достаточно проверить сходимость ряда Фурье, получающегося при
действии L. Записав
F = XF/exp[t(j, ф)], U! = X U;exp[t(j, ф)], (П.1.8)
/ /
получим из
LU = X[i((0, j)Vj + LU/lexp[i(i, ф)] (П. 1.9)
условие
["•(*>, j) + L]U/ = F/. (П. 1.10)
Так как оператор L приводится к диагональному виду, мы находим
U/, деля различные собственные функции оператора L, принадле-
жащие остаточному подпространству Ж, на ненулевые собственные значения.
Имея в виду (6.2.6) и используя неравенство (П. 1.3), мы получаем для U/
оценку
II U/1| < (|| j |f + 1) II F/1| < (|| j |f + 1) exp
(-11 j || r) || FII,.
A A
(П.1.11)
Следовательно,
II U ||p < II F ||, X (|| j |f + 1) exp [|| j || (p-r)]. (П. 1.12)
A /
Последняя сумма всегда сходится. Получить ее оценку можно следующим
образом. При 6 = г-р < 1 справедливо неравенство
6r+,!I(||j|f+l)exp(-||j||6)<
/
<Z(Sr||jlf+l)exp(-||j||6)6,!. (П.1.13)
/
Правая часть неравенства (П. 1.13) ограничена постоянной, не зависящей от
6, так как ее можно мажорировать интегралом
. . . f (|| х||r + 1) ехр (-II хII) (П.1.14)
который она аппроксимирует. Таким образом, мы получаем из (П. 1.12)
неравенство
II и Ир ¦? IT II,(гД,+" . (П.1.15)
которое и доказывает лемму П. 1.2 при а = т + п.
366
П риложение
Результаты, полученные в приложении 1 и разд. 6.3, позволяют
сформулировать следующее утверждение.
Теорема П.1.1. Для контрчленов Л (е), d (е), D (е) и для и (ф, е), v (ф,
е), V (ф, е) существуют единственные формальные разложения по степеням е.
Эти разложения формально удовлетворяют условиям теоремы 6.2.1 и
нормированы так, что все коэффициенты разложений u, v, V принадлежат Ж.
Доказательство очевидно из приведенных выше соображений. Сравнение
коэффициентов приводит на каждом этапе к уравнениям типа (6.3.3), которые
по лемме П. 1.2 допускают единственное решение с нормировкой U 6 31-
Более трудному доказательству сходимости разложения в ряд по е посвящен
разд. П.З. Однако в разд. П.З нам не удастся обеспечить необходимую
нормировку, поэтому сейчас мы обратимся к изучению совокупности всех
формальных решений.
2. Наиболее общее преобразование, необходимое для доказательства
теоремы 6.2.1
Выясним теперь, что означают произвольные постоянные (нулевое
пространство). Для того чтобы найти наиболее общее решение U 6 31 и
нулевое пространство Ж, о которых упоминалось в разд. 6.3 в связи с
доказательством теоремы Мозера, обозначим через
Ф = ф + и (ф, е),
<U:\Z . А \ (П.2.1)
1 1 = X + v (ф, %, е)
единственное частное решение, удовлетворяющее нормировке, при которой все
векторы, лежащие в нулевом пространстве, обращаются в нуль, т. е. U 6 Ж.
Это решение позволяет преобразовать дифференциальные уравнения (6.3.1) н
(6.3.2) в систему уравнений, линеаризация которой имеет вид
/
i
(П.2.2)4
Ясно, что любое преобразование
ф' = ф + еи(ф, е),
<й-.\ Л Л (П.2.3)
t' = 1 + е [v (Ф, е) + V (ф, е) %],
переводящее систему уравнений (П.2.2) в себя, порождает еще одно
преобразование
<U о <й. (П.2.4)
Доказательство теоремы Мозера
367
Через <2/о <?/ в (П.2.4) мы обозначим композицию преобразований °11 и <U.
Для этого нам понадобились преобразования °11, переводящие систему
уравнений (П.2.2) в себя. Производя над системой (П.2.2) преобразование
(П.2.3) и требуя, чтобы дифференциальные уравнения в новых переменных ф',
%' имели такой же вид, как в старых ф, х, получаем (оператор L имеет вид
(6.3.29) с Lj = L2 =L3)
LU = О, (П.2.5)
где
U
V v
(П.2.6)
Уравнение (П.2.5) означает, что вектор U лежит в нулевом пространстве, а
преобразования, переводя и ие уравнения (П.2.2) в себя, имеют вид
¦ее:
f ф' -ф + еа,
(П. 2.7)
1 Х'=Х + е(Ь + Вх),
где а, Ь, В не зависят от ф и удовлетворяют соотношениям
ЛЬ = 0, (П.2.8)
АВ=ВА. (П.2.9)
Обозначим группу преобразований, переводящих уравнения (П.2.2) в себя,
через Ё. Итак, °11 и °11 о<& преобразования, необходимые для
доказательства теоремы 6.2.1. Более того, если контрчлены A, d,
D заданы, то °11 и <2/ ° 92 - наиболее общие решения. Можно пока-
зать, что они однозначно определены. Так как доказательство этого
утверждения носит более технический характер, мы не будем воспроизводить
Предыдущая << 1 .. 121 122 123 124 125 126 < 127 > 128 129 130 131 132 133 .. 152 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed