Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
термодинамического потенциала Ф:
it=Z (/с~1),а(Т =At' (10-4-40)
Из (10.4.40) следует условие совместности (интегрируемости)
(d/dqj)Ai = (d/dqi)Aj. (10.4.41)
Это - условие на дрейфовые коэффициенты и коэффициенты диффузии, входящие
в правую часть равенства (10.4.40). Подставляя
Влияние шума
345
Ai и Aj из (10.4.40), запишем условие (10.4.39) подробно:
= 0. (10.4.42)
'< Y(K-UY^
Итак, необходимые и достаточные условия, при которых выполняется принцип
детального равновесия, в окончательном виде сводятся к равенствам
(10.4.37), (10.4.41) и (10.4.42). Условие (10.4.38), или эквивалентное
ему условие (10.4.40), если рассматривать его как дифференциальное
уравнение относительно Ф, позволяет находить обобщенный термодинамический
потенциал с помощью квадратур, т. е. криволинейного интеграла. Тем самым
стационарное решение уравнения Фоккера-Планка может быть полностью
определено.
10.4.3. Пример
Рассмотрим следующие уравнения Ланжевена:
= - cuh + aqz + F^t), (10.4.43)
q2 = - aq%- + F2 (t), (10.4.44)
где флуктуирующие силы F¦ порождают коэффициенты диффузии
Qik = &ikQ = const. (10.4.45)
Как должны преобразовываться при обращении времени величины q 1 и q2 Для
того, чтобы выполнялся принцип детального равновесия, мы узнаем,
установив связь между уравнениями (10.4.43), (10.4.44) и уравнениями
гармонического осциллятора
х = сор, (10.4.46)
р== -ых (10.4.47)
(при надлежащим образом выбранных масштабах по импульсу р и координате
х). Как известно из механики, при обращении времени координата и импульс
преобразуются по формулам
(10.4.48)
(10.4.49)
Сравнивая уравнения Ланжевена (10.4.43), (10.4.44) с уравнениями механики
(10.4.48), (10.4.49), мы видим, что (по крайней мере при а = 0) можно
попытаться отождествить qx и q2 с х и р:
x = qlt (10.4.50)
p = q2- (10.4.51)
Сохраняя это соответствие между переменными и при а Ф 0, мы
346
Глава 10
тем самым постулируем следующие трансформационные свойства <7i и q2:
<7i=+<7i, (10.4.52)
q2 = -<72, (10.4.53)
т. е. е2 = + 1, е2 = - 1.
Из определения (10.4.34) необратимого дрейфового коэффициента ?>!
следует, что
?>i =-у[ -aft+ m?2 + (-aft- co?2)], (10.4.54)
откуда
Dx=-aqx. (10.4.55)
Аналогичным образом мы получаем
?>2 =-j- [ -ой72 -coft -( + a<72- (Oft)], (10.4.56)
откуда
?)2=-aq2. (10.4.57)
Вычислим теперь обратимые дрейфовые коэффициенты по формуле
(10.4.35). Подставляя соответствующие величины, получаем
J1 = -^-l - aq1 + (oq2 - ( - oui1-(j)q2)]= + (10.4.58)
и аналогично
J2 = -Yl - aq2 - wq1 + (ocq2-o)qi)]= - (10.4.59)
Подставляя (10.4.55), (10.4.57) в (10.4.40), находим А г.
At= ^-<7,-. t=l, 2. (10.4.60)
Q
Соотношения (10.4.55), (10.4.57) - (10.4.59) позволяют проверить условие
(10.4.42). Нетрудно видеть, что соотношения (10.4.60) соответствуют
потенциалу
Ф = -=-(<7? + $. (10.4.61)
V
Итак, мы построили стационарное решение уравнения Фоккера-
Планка, соответствующего уравнениям Ланжевена (10.4.43),
•(10.4.44). (Упражнение см. в конце разд. 10.4.4.)
Влияние шума
347
10.4.4. Важные частные случаи
Особо следует упомянуть два частных случая, необычайно важные для
приложений.
1) При Ji = 0 мы приходим к так называемым потенциальным; условиям. В
этом случае равенства (10.4.37), (10.4.39) выполняются тождественно, и
необходимо удовлетворить лишь условиям (10.4.40),
(10.4.41).
2) Во многих практических приложениях вместо вещественных переменных
приходится иметь дело с комплексными переменными и уравнение Фоккера-
Планка имеет вид
-f - Г У (- с'+~У~С<У У""-•
\ L-J V dui ди! ) Lj dukdui
L i к, j
где
Qkj = bkiQi, Qi = Q. (10.4.63)
Приведенные выше условия сводятся к следующим: Су и Су должны иметь вид
Cj = dBldu] + lf\ (10.4.64)
Cj = dB/dUj-\- ifK ( (10.4.65)
Кроме того, должны выполняться условия
У (Л/<¦> + ^_ /т = 0, (10.4.66)
Lu \ d"i дУ )
3
( д1У д№ \
1\-Уг+^У°- (10А67)
t, (10.4.62)
Тогда
где
Же~ф, (10.4.68)
Ф = 2 BIQ (10.4.69)
- стационарное решение уравнения Фоккера-Планка (10.4.62).
Упражнение. Найти стационарное решение уравнения Фоккера- Планка,
соответствующего следующей системе уравнений Ланжевена:
Я\ = -a(?i+ Щг - P<?i (<7i +<72) + F (t), (10.4.70)
<72= - aq2- щг - P?2(<7? + ^) + K2(0, (10.4.71)
где Qik = 8ikQ не зависят от qlt q2.
348
Глава 10
10.5. Поведение нелинейных стохастических систем вблизи критических
точек: краткие выводы
После подробного изложения математических методов, иногда сопряженных с
необходимостью производить довольно громоздкие вычисления, уместно
"перевести дух" и кратко сформулировать наиболее существенные выводы, к
которым приводят отдельные этапы алгоритма. Отправным пунктом наших
теоретических построений были нелинейные уравнения с флуктуирующими
силами. На первом этапе мы предполагали, что эти силы пренебрежимо малы.
Затем мы исследовали поведение систем, содержащих флуктуирующие силы,
вблизи критических точек. Оказалось, что в достаточно малой окрестности
критической точки поведение системы определяется небольшим числом
