Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
алгоритмов и методов, позволяющих управлять системой для того, чтобы та
функционировала заранее заданным образом. В синергетике мы изменяем
управляющие параметры более или менее непредсказуемым образом и изучаем
самоорганизацию системы, т. е. различные состояния, в которые она
переходит под воздействием "рычагов управления".
Теория динамических систем и ее особый (быть может, наиболее интересный)
раздел-теория бифуркаций игнорируют флуктуации. Но, как показано в
синергетике, флуктуации обретают решающе важное значение именно в тех
точках, в которых происходят бифуркации (рассматриваемые теорией
бифуркаций в "стерильном виде-в отсутствие флуктуаций). Иначе говоря,
области переходов могут быть адекватно описаны только в том случае, если
учтены флуктуации. В отличие от традиционной теории бифуркаций (например,
типа теории Ляпунова-Шмидта), позволяющей находить только ветвящиеся
решения, в синергетике мы изучаем всю стохастическую динамику в
подпространстве, натянутом на зависящие от времени управляющие параметры.
Такой подход
Взаимосвязь синергетики и других наук
363
необходим для адекватного учета флуктуаций. В то же время синергетический
подход позволяет изучать устойчивость новых ветвей и временную эволюцию
структур. Таким образом, синергетика самым непосредственным образом
соприкасается с теорией фазовых переходов и позволяет вводить в теорию
бифуркаций новые для той понятия критического замедления, критических
флуктуаций, нарушения симметрии и восстановления нарушенной симметрии
через флуктуации. Кроме того, синергетические методы позволяют охватить в
рамках пространства, натянутого на параметры порядка, последовательности
бифуркаций (например, последовательность удвоений периода) и затягивание
частоты. В большинстве случаев для возникновения когерентного состояния
необходимо существование нескольких компонентов (шума), поэтому
синергетика занимается изучением систем, состоящих из многих компонентов,
что в свою очередь требует стохастического подхода.
Хотя теория бифуркаций в ее современном виде исключает из рассмотрения
флуктуации, некоторые из последних работ по теории бифуркации посвящены
изучению окрестности ветвящегося решения. Специалисты по теории
динамических систем и теории бифуркации заметят, что в нашей книге по
ходу изложения мы выходим на передний край современных исследований и
получаем новые результаты. Один из таких результатов (аналог теоремы
Флоке) относится к виду решений линейных дифференциальных уравнений с
квазипериодическими коэффициентами. Нам удалось изучить широкий класс
таких уравнений с помощью вложения. Другой результат относится к
бифуркации n-мерного тора в другие торы. Наконец, принцип подчинения
включает в себя в качестве частных случаев ряд важных теорем, например
теорему о центральном многообразии, теорему о медленном многообразии и
различные алгоритмы адиабатического исключения переменных.
Что же касается системного анализа, то здесь синергетика идет нехоженым
путем: сосредоточивая внимание на ситуациях, в которых макроскопическое
поведение систем претерпевает качественные изменения, она позволяет
высказывать общие утверждения, относящиеся к щироким классам систем.
Наконец, нельзя не сдёлать замечание общего характера о связи синергетики
и математики. Связь эта точно такого же рода, как связь между
естественными науками и математикой. Так, квантовая механика не вводится
к применению теории матриц или спектральной теории! линейных операторов.
Квантовая механика использует обе эти математические теории, но в то же
время опирается на свою собственнуюДГфисущую только ей систему понятий.
То же утверждение тем более справедливо в отношении синергетики. Такие
синергетические понятия, как параметр порядка и подчинение, применимы к
наукам, которые еще не подверглись математизации, и к наукам, которые
никогда не будут математизированы, например к теории развития науки.
Приложение
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ МОЗЕРА (ПРЕДЛОЖЕННОЕ МОЗЕРОМ)
1. Сходимость рядов Фурье
Лемма П. 1.1. Предположим, что вектор F (6.3.27) (с подвекто-рами f, g,
G) - вещественнозначная аналитическая функция с периодом 2л по гр!, . . .
, Введем при заданном г>0 норму
|| F ||г = sup || F ||, II-f1 II = II f 11 +II g 11 +II G ||, (П.1.1)
|Im {M>v} |<r
конечную при некоторых положительных г. Здесь || . . . || означает сумму
абсолютных величин компонент вектора.
Коэффициенты Фурье любой вещественнозначной аналитической периодической
функции убывают экспоненциально. Точнее, если
F = Z F; ехр U (j, Ф)1, (П. 1.2)
/
ТО
II Fjfll "? || F ||rexp (-1| j ||г). (П.1.3)
Для доказательства неравенства (П. 1.3) запишем F/ в виде
р/ = -^г). • . ) F ехр [-i (j, 40] d4 (П.1.4)
{zH)
где интегрирование производится по 0 < ipv ^ 2я. Сдвигая область
интегрирования в комплексную плоскость на Im {ipv} = =-р sign {/v},
получаем
IIF/ IK II F ||р exp (-И j || p), (П.1.5)
а поскольку это неравенство выполняется при любом р<г, мы
