Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хакен Г. -> "Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах" -> 118

Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.

Хакен Г. Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах — М.: Мир, 1985. — 424 c.
Скачать (прямая ссылка): sinergetikaierarhiineustoychivostey1985.pdf
Предыдущая << 1 .. 112 113 114 115 116 117 < 118 > 119 120 121 122 123 124 .. 152 >> Следующая

уравнения Фоккера - Планка.
10.4. Некоторые общие теоремы о решениях уравнения Фоккера - Планка
10.4.1. Зависящие и не зависящие от времени решения уравнения Фоккера-
Планка для случая, когда дрейфовые коэффициенты линейны по координатам, а
коэффициенты диффузии постоянны
В некоторых классах задач вполне допустимо предположение о том, что
дрейфовые коэффициенты могут быть линеаризованы относительно равновесных
значений координат, а коэффициенты диффузии не зависят от координат. Если
обозначить через q,- смещение из положения равновесия, то уравнение
Фоккера-Планка будет иметь вид
-f+7c,,-f с0-4'1)
at l_i dqi 2 Lu oqidqj
i, I i, j
Объединим координаты qlt . . . , qN в вектор q. Функция Грина уравнения
(10.4.1) должна удовлетворять начальному условию
б(ч> Ч, О) = П 6 (<7/-q'j). (10.4.2)
/
Решение уравнения (10.4.1) с начальным условием (10.4.2) имеет вид G(ч.
ч', 0 = [n"det {а(0}Г12 X X ехр | - ? (сГ% р7г - ? bik (t) qk j X
X
[?/?/']}. (10-4-3)
где
° = (at/)>
°ti (9 = E [6/A>-bis (t) bjr (91 asr (oo). (10.4.4)
340
Глава 10
Входящие в выражения (10.4.3), (10.4.4) функции bis удовлетворяют
уравнениям
bis = ZCiibis (10.4.5)
с начальными условиями
Ы 0) = 6/s. (10.4.6)
Величина а (оо) определяется соотношением
Са (оо) + а (оо) Ст = -2Q, (10.4.7)
где
С - (Си),
(10.4.8)
Q = (Qa),
верхний индекс Т означает транспонированную матрицу. Стационарное решение
имеет вид
/(q) = G(q, q', oo) = [n"det (а (оо))]-'2 X
X ехр [-Z. {(о-1)*/ (°°)1 4t4l ]• (10.4.9)
10.4.2. Точные стационарные решения уравнения Фоккера-Планка для
систем, находящихся в детальном равновесии
В этом разделе мы ставим перед собой две задачи:
1) вывести необходимые и достаточные условия на дрейфовые коэффициенты и
коэффициенты диффузии уравнения Фоккера- Планка, при которых выполняется
принцип детального равновесия;
2) доказать, что в условиях детального равновесия стационарное решение
уравнения Фоккера-Планка может быть найдено с помощью квадратур.
Принято считать, что принцип детального равновесия выполняется
практически для всех систем, находящихся в тепловом равновесии, однако
это отнюдь не означает, что принцип детального равновесия
распространяется и на системы, далекие от теплового равновесия.
Следовательно, в каждом отдельном случае вопрос о применимости принципа
детального равновесия необходимо решать особо (например, привлекая для
этого соображения симметрии). Анализ структуры уравнения Фоккера-Планка
также позволяет строить заключения относительно применимости принципа
детального равновесия.
а) Детальное равновесие. Обозначим совокупность переменных <7и • ¦ • >
Qn через вектор q, а совокупность тех же переменных при обращении времени
- через вектор
q = {etfi, . . ., eNqN}, (10.4.10)
Влияние шума
341
где коэффициенты е* равны - 1, если координата qi изменяет знак, и + 1,
если она остается неизменной, при обращении времени. Пусть к означает
совокупность параметров, найденных из эксперимента, а
к = {ujA,!, . . . , vMkM) (10.4.11)
- вектор, получающийся из к при обращении времени (коэффициенты Vi
принимают значения ¦- 1 или + 1 в зависимости от симметрии внешних
параметров относительно обращения времени). Обозначим через
Ыч', ч; к, к) (10.4.12)
совместную вероятность найти систему при t = tx в точке с коор динатами q
и при t = t2 в точке с координатами q'.
В дальнейшем нас интересует стационарная система, поэтому совместная
вероятность зависит только от разности времен t2-11 - т, и (10.4.12)
можно представить в виде
/2(4', ч; К tl) = W(q\ q; Т). (10.4.13)
Сформулируем принцип детального равновесия. Возможны два следующих
варианта определения.
1) Принцип детального равновесия (в первом варианте) утверждает, что
W(q', q; т, к) = W {q, q', т, к). (10.4.14)
Совместную вероятность можно записать в виде произведения стационарного
распределения /(q) и условной вероятности Р. Стационарность
подчеркивается следующей записью:
Р = Р(q'|q; т, Я,). (10.4.15)
Равенство (10.4.14) переходит при замене W на произведение Р и f в
равенство
P(q'lq\ т, k)f (q, fy = P(q|q'; т, Я) j(q', к). (10.4.16)
Здесь и далее мы предполагаем, что уравнение Фоккера-Планка имеет
единственное стационарное решение. Нетрудно показать, что тогда
/(Ч, *) = /(ч, Ю- (10.4.17)
Определим вероятность перехода за одну секунду как
w (qq; к) - [(d/dr) Р (q' | q; г, Я.)]т=о- (10.4.18)
Взяв производную по т от обеих частей равенства (10.4.16) и положив т = 0
(но q ф q'), мы придем ко второму варианту принципа детального
равновесия.
2) Принцип детального равновесия (во втором варианте) утверждает, что
иу (ч\ q; k)f(q, Я) = о) (q, q', k)f{q', X). (10.4.19)
342
Глава 10
Равенство (10.4.19) имеет очень простой смысл. Его левая часть описывает
полную скорость перехода из состояния q в новое состояние q'. Принцип
детального равновесия требует, чтобы скорость этого перехода была равна
скорости перехода в обратном направлении для q' и q при обращенном
движении (например, с обращенными импульсами).
Предыдущая << 1 .. 112 113 114 115 116 117 < 118 > 119 120 121 122 123 124 .. 152 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed