Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
вероятностью 1, .. е.
I dnqP (q, 0) = l.j (11.6.1)
Удобно ввести вероятность Р (q, k): Р (q, k) dnq есть вероятность того,
что рассматриваемая система находится в элементе объема dnq в точке q и
ранее не выходила на границу области ^.^Пусть
P\(k)=% dnqPl(q, k), (11.6.2)
¦ у
где P (k) - вероятность того, что рассматриваемая система нахо дится в
области Т и до момента времени k не выходила на границу. Комбинируя
соотношения (11.6.1) и (11.6.2), мы получаем вероятность того, что
система выходит на границу области Т за время k. Эта вероятность равна
1-Р (k). Наконец, вероятность того, что
система выходит на границу области Т между k и k
+ 1 равна
Р (k) - Р (k + 1). Теперь уже не составляет особого труда доказать, что
среднее время первого выхода на границу определяется выражением
Х>
<*>=? (Л+1)[Я(Л)-РЗ(Л + 1)]Г (11.6.3)
k=0
Следует заметить, что среднее время первого выхода на границу зависит не
только от 7, но и от начального распределения Р (q, 0) (см. (11.6.1)).
Это обстоятельство наводит на мысль ввести условное время первого выхода
на границу (т (q)). Под этим мы будем понимать среднее время первого
выхода на границу для системы, которая в момент времени k = 0 с
вероятностью 1 находилась в
Дискретные отображения с шумом
355
точке q. Ясно, что
оо
<*(c)> = ! (fc+l)[p(q|S, *)-P(qlS, *+1)], (П.6.4)
k-0
где р (q ||, ft) - соответствующая вероятность перехода. Связь между
(11.6.3) и (11.6.4) определяется соотношением
<т>= j' dnl <т (1)) Р (1, 0). (11.6.5)
Г
В дальнейшем мы будем пользоваться тем, что в области Т вероятность
первого выхода на границу р (q ||, ft) удовлетворяет уравнению (11.3.11),
обращенному назад, что позволяет записать среднее время первого выхода на
границу в виде
<т (c)> = ? (ft + 1) j dnq J dnz [6 Й-z) -
T T
- К(Z, I)]p(q|z, ft). (11.6.6)
Уравнение (11.6.6) значительно упрощается, если подынтегральное выражение
дополнить аддитивным членом
± p(q [z, ft + 1) K(z, I). (11.6.7)
Используя определение (11.6.4) условного среднего времени первого выхода
на границу (т (q)) и применяя еще раз уравнение, обращенное назад,
приходим к выражению
<тй)>= - \dnzK(z, S)<x(z))+R, (11.6.8)
Т
где
оо
Я = Х(*+1) \dnq[p( q IS, ft)-p( qll, ft+ 2)]. (11.6.9)
k-o у
Нетрудно вычислить сумму, стоящую в правой части (11.6.9). Вводя в
квадратные скобки аддитивный член
+ p(qll, ft+1), (11.6.10)
используем очевидное соотношение
* * оо
j dnq X [p(q II, ft) -P(q II, ft+ 1)]= 1- (11.6.11)
Y k=o
Суммируя no ft и заменяя 1 на q, приходим к окончательному результату
<t(q))= \dnzK(z, q)<x(z))+l. (11.6.12)
356
Глава 11
Уравнение (11.6.12) и есть тот результат, который мы вознамерились
получить в начале этого раздела: неоднородное интегральное уравнение для
условного времени первого выхода на границу (х (q)) для процесса (11.1.1)
с дискретным временем.
11.7. Линейная динамика и гауссов шум. Точное, зависящее от времени
решение уравнения Чепмена - Колмогорова
Рассмотрим линейный вариант отображения (11.1.1), т. е. дискретное
отображение
f{<ik) = A<\k, (11.7.1)
где А ¦- матрица, зависящая только от внешних параметров. Предположим
также, что G = 1 и что плотность вероятности случайного вектора т]
гауссова типа:
w ы=("(?п')12ехр (-(11'7,2)
где р - симметричная положительная матрица. Заметим, что ото бражение
(11.7.1) вместе с формулой (11.7.2) можно рассматривать как линеаризацию
отображения (11.1.1) относительно неподвижной точки. Кроме того, если
флуктуации малы, то в случае конечной области @), когда неподвижная точка
расположена достаточно далеко от границ, влиянием границ можно
пренебречь. Соотношения (11.7.1) и (11.7.2) позволяют представить ядро
(11.3.2) в виде
*<Я. ^ ("jtSyr)1 2ехр [-(ч-I"4 Г)Р (ч - - (11-7.3)
Уравнение (11.1.7) можно решить, положив
P(l' fe)=(w~)12exp:[_у(!-1о)в(!-10)], (п.7.4)
где 10 - центр распределения вероятности в момент врем ени k, В -
положительная симметричная матрица. Действительно, подставляя (11.7.4) и
(11.7.3) в уравнение (11.7.7), получаем
Р (q, k+\)= (detgdetP)' 2 +г°dnlexp\ ... 1, 11.7.5)
(2л)п -со
где
{• • • } =4"[(Ч-^Г)Р(Ч-Л6) + (!-!") B(l-l0)l (11.7.6)
Если сдвинуть | на постоянный вектор а
1 = Г + а (11.7.7)
Дискретные отображения с шумом
357
и выбрать
а=(ЛгрЛ + 5)-1(^ГРч + 51о), (П.7.8)
то, интегрируя по 1', мы получим
Р{ q, k+l) ехр ?-^-(Я - Яо)В (q - 9о)]- (П.7.9)
Полагая
В - В/г+1> B=Bk!
fC = Jfk+i\ Mk = (2л)4"2 (det p)12, (11.7.10)
qo = q*+i; io==qfc
и сравнивая (11.7.4) с (11.7.9), мы сразу же устанавливаем рекуррентные
соотношения
q*+i = ^q*, (11.7.11)
Bk+i = Р- рЛ (Л грА + Bk)~l Атр, (11.7.12)
(1Ь7ЛЗ"
Стационарное решение следует из условия
Bk+1 = Bk (11.7.14)
и т. д. В случае диагональной матрицы Р, удовлетворяющей условию
Ptt = P6i*. (11.7.15)
(11.7.14) можно решить, если потребовать дополнительно, чтобы
выполнялось соотношение
АТА = ААТ~К (11.7.16)
В этом случае мы получаем
В = р(1 - ЛгЛ). (11.7.17)
Наконец, упомянем о том, что и в гауссовом случае система может терять
