Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
(1967). ]
Рис. 10.3.2. Потенциал V0 уравнения Шредингера (10.3.9) и первые пять
собственных значений и собственных функций при параметре накачки а = 10.
[Из работы: Risken Н., Vollmer Н. D., Zs. Phys., 201, 323 (1967).]
Влияние шума
335
Соотношение полноты
оо
б(г-Р)= ? %т(г)Упт(?) (10.3.13)
т= О
приводит нас к функции Грина для уравнения Фоккера-Планка. Она получается
из общего решения (10.3.8), если положить
Апт = -----1-- ехр(Ц- а -!-¦) Vпт (?') ехр (-imp').
2nV?' 48 4 J
(10.3.14)
Рис. 10.3.3. Первые четыре ненулевых собственных значения Хйт и
эффективное собственное значение Аэфф (10.3.24) как функции параметра
накачки а, [Из работы: Risken Н., Vollmer Н. D., Zs. Phys., 201, 323
(1967).]
Таким образом, функция Грина имеет вид
G(r, ф; ?, ф',т) = ynrzr ехр ( г- + а -А- _|_ А- а -О х
~2яУ7У 4 8 4 8 4 }
оо оо
X Е Е гГ"т (г) 1Глт (У) ехр [in (ф-ф') - Ялтт]. (10.3.15)
т=0 п=-оо
Для вычисления стационарных двухвременных корреляционных функций
необходима функция совместного распределения вероятности F (г, ф; г, ф';
т). Произведение F (г, ф; г', ф; т) X rdrdyr'dr'dy' задает вероятность
того, что г (t + т) лежит в интервале г, г -f dr; Ф (t -f т) - в
интервале ф, ф + d<p; г (t) - в интервале г', r'+ dr'; ф' (t) - в
интервале ф', ф' + dq>'. Функцию совместного распре-
336
Глава 10
деления вероятности можно выразить через функцию Грина G (г, Ф; г', ф',
т) и W (г', ф') (функция W описывает начальное распределение):
F{r, ф; г', ф'; t) = G(/, ф; ? ф'; т)
Ц7(>, ф'). т>0. (10.3.16)
-10 -8 -6 -4 -Z О
8 10
Рис. 10.3.4. Первые четыре матричных элемента Мт как функции параметра
накачки. [Из работы: Risken Н., Vollmer Н. D., Zs., Phys., 201, 323
(1967).]
Корреляционная функция интенсивности флуктуаций определяется выражением
К (а, т) _ <(Р- (?+т)-(7" (7 (7) -<г2"> =
= Jljj' г dr? dr'dydy'(r2 - (r2))(r'2-(r'2)) F (7, фф'; т) =
¦¦К(а, 0) ? Л4техр( - А,0тт), (10.3.17)
m= 1
где
М,
Л
К (а, 0)
jVr г2ехр^_-^- +а-^УршСг)?-
о
(10.3.18)
Первые четыре матричных элемента Мт как функции параметра накачки а
представлены на рис. 10.3.4, а их значения - в табл. 10. 3.1. Коэффициент
К (а, 0) определяется выражением
(г4) -(г2/ = 2я J rsW('r)dr-\2n [ r3W(r)dr] , (10.3.19)
о L о J
где величина W (г) задана формулой (10.3.7).
Влияние шума
337
Нормировочный множитель JC и коэффициент К (а, 0) можно свести к
интегралу ошибок
Ф (у) = ^ 2/- (' ехр (-л:2) dx.
l/jl Q
Пусть v = г2 - новая переменная и по определению
In (fl) = 5 °П ехр ( ^ Ь а ~2_)
dv.
(10.3.20)
(10.3.21)
Рис. 10.3.5. Сравнение между точным спектром шума и эффективной лорен
цевой линией при а = 5. [Из работы: Risken Я., Vollmer Я. ?>., Zs. Phys.
201, 323 (1967).]
Тогда выполняются следующие рекуррентные соотношения:
/0 (а) = Y п ехр (а2/4) [ 1 + Ф (а/2)],
/х(а) = 2 + а/о(а), (10.3.22)
/"(а) = 2(п- 1)/"_2 (а) + а/п_х (а) при п > 2.
Спектр 5 (а, со) интенсивности флуктуаций определяется преобразованием
Фурье корреляционной функции (10.3.17):
оо
S(a, to) = K(a, 0) ? Мт. (10.3.23)
Хотя спектр 5 (а, со) - сумма лоренцевых линий, т-я из
которых
имеет ширину Я,от, его можно аппроксимировать некоторой эффек-
тивной лоренцевой линией
5эфф (а, ю) = /С (а, 0) -
^эф Ь
эфф
где
^эфф
;у мт ^
Li т I
т=1 I
(10.3.24)
ограничивающей ту же площадь и имеющей то же максимальное значение (рис.
10.3.5). Что же касается эффективной ширины Я.Эфф,
338
Глава 10
то при а " 5 она примерно на 25 % больше, чем А01. Собственные значения и
матричные элементы вычислялись, в частности, и для пороговой области - 10
< а < 10. Аналогичные вычисления для корреляционной функции амплитуды
приводят к величине
g(a, т)==(г(? +x)exp[t4p(? +т)]г (t) ехр [- iff (?)]) =
= JjXf r&r г dffdff г г х
X ехр (iff -iff') F( г, ф; г, ф; т) =
= g{a, 0) Yj Утехр( - Я1тт),
т= 0
(10.3.25)
Рис. 10.3.6. Множитель а (а) = Х10 ширины линии как функция параметра
накачки. [Из работы: Risken #., Zs. Phys., 191, 302 (1966).]
где
Vm
N
g(a. 0)
IjVr > exp ^--у--fa(r ) dr
L0
Величина g (a, 0) определяется по формуле
oo
g(a, 0) = <?) = 2л j ?W (r)dr
. (10.3.26)
(10.3.27)
и может быть сведена к интегралу ошибок той же подстановкой, которая
приводит к (10.3.21). Вычисление величины V0 показывает, что разность
l-Vo= Е Vn
т - 1
составляет около 2% вблизи порогового значения и менее 2 % - вдали от
него. Следовательно, спектр имеет почти лоренцеву форму с шириной линии
(в ненормированных единицах)
А<о = V PQ Ам = "(a) Q!(n), а=%ю (а) < 7 (а)). (10.3.28)
Множитель а как функция параметра накачки а представлен на рис. 10.3.6.
Влияние шума
339
Переходное решение. Уравнение Фоккера-Планка (10.3.6) допускает
переходное решение
оо 2 Л
И7 (с Ф. 0=J I G(r, ф; У, ф; t)w(r', ф', 0) Vdr'dy,
о о
(10.3.29)
где G - функция Грина (10.3.15), W (г', ф', 0) - начальное распределение.
На этом мы закончим рассмотрение примера. Сформулируем теперь и наметим
доказательство нескольких полезных общих теорем о свойствах решений
