Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
На рис. 9.2 и 9.3 показано несколько типичных примеров в случае круглой и
более сложной геометрии. Отчетливо видны структуры шестиугольной формы.
T = 5000;F=-2,06,N=0,038 т = 25000,F= -2,21; N*0,040
Рис. 9.1. Линии равных амплитуд ф (х, у, t) при различных / = т и а =
0,10 (а, б, д, е), а = 90 (в, г), А ~= О, В = 1.
Отношение длины к ширине у ячеек а-г равно 16, у ячеек д, г - 29,2 и,
19,5. В качестве начальных условий бы-
ли выбраны параллельные цилиндрические ячейки для а, в и случайные
области противоположных знаков для б, д. Сплошными и пунктирными линиями
показаны положительные и отрицательные значения при максимуме амплитуды,
равном 1/2, 1/4, 1/8 и 1/16. Полученные кривые соответствуют линиям
равной вертикальной скорости в оптических экспериментах. Указаны время,
за которое достигается равновесие (т), функционал Ляпунова (F) и число
Нуссель-та (N). Состояние д не достигло равновесия. Оно продолжает
эволюционировать в равновесное состояние е. Равновесие считается
достигнутым, когда din (F)/di С 10~8. [Из работы: Greenside Н¦
S., Coughran, Jr. W. М., Schryer
N. L" Phys. Rev. Lett., 49, 726 (1982).]
Пространственные структуры 325
s) I- +5,1 L-255,0
г) t. 77,9 L-265,2
Рис. 9.2. Численное интегрирование уравнения (9.5.15) с безразмерными
единицами, выбранными так, чтобы &0 = 1; В = 1 иа->-е;Л->-6;е = 0,0; 6 =
2,0. Параметр t - безразмерное время, L - функционал Ляпунова,
соответствующий уравнению (9.5.15). В качестве начальной выбрана
случайная структура, изображенная точками. Структуры, возникающие из нее
в процессе эволюции, получены в результате численного интегрирования
уравнения (9.5.15). Структуры на рис. 9.2 обладают некоторым сходством с
экспериментально наблюдавшимися структурами на рис. 1.2.8.
Рис. 9.3. То же, что на рис. 9.2, при весьма специальной геометрии.
Видно, что шестиугольники существуют лишь на достаточно большом
расстоянии от боковых стенок.
Глава 9
Глава 10 ВЛИЯНИЕ ШУМА
Во введении мы уже отмечали, что в критических точках, там, где система
теряет устойчивость, влияние шумов может иметь решающее значение. В этой
главе мы покажем, каким образом это влияние удается учесть в рамках
подхода, развитого в предыдущих главах. В синергетике мы обычно начинаем
с уравнений, описывающих систему на мезоскопическом уровне. Такое
описание пренебрегает микроскопическим движением. Например, атомов или
молекул. Одним из многочисленных примеров описания на мезоскопическом
уровне могут служить уравнения гидродинамики. В них входят такие
макроскопические величины, как плотность, макроскопические скорости и т.
д. Аналогичным образом в биологии при изучении морфогенеза мы
пренебрегаем процессами, протекающими на субклеточном уровне, например
метаболизмом. С другой стороны, мы не можем полностью исключить из
рассмотрения микроскопические процессы, так как именно они порождают
флуктуирующие вынуждающие силы в уравнениях для вектора состояния q
исследуемой системы. Мы не будем выводить члены, описывающие источники
шумов. Для такого вывода необходимо в каждом отдельном случае выяснить
природу шума. Далеко не безразлично, о каком шуме идет речь: о шуме
квантового происхождения, шуме, обусловленном тепловыми флуктуациями, или
о внешнем шуме, производимом резервуарами, с которыми связана система.
Мы хотим лишь наметить общий подход к рассмотрению
случаев, когда источники шумов заданы. Основные идеи предла-
гаемого подхода мы поясним на примерах.
10.1. Общий подход
Уравнения
q = N(q, a) + F(0 (10.1.1)
(которые будем называть уравнениями Ланжевена) мы получим из исходных
уравнений, вводя соответствующие флуктуирующие силы F. Если флуктуирующие
силы зависят от вектора состояния, то мы приходим к стохастическим
дифференциальным уравнениям вида
dq = N (q, a) dt + dF (t, q). (10.1.2)
328
Глава 10
Их можно рассматривать и решать в рамках исчисления Ито или Стратоновича
(гл. 4). Мы хотим проанализировать влияние флуктуирующих сил на поведение
системы вблизи критических точек, в которых система теряет устойчивость.
Будем предполагать, что член F достаточно мал и не вносит существенных
изменений в характер перехода. Это означает, что нас будут интересовать в
основном проблемы, в которых неустойчивость обусловлена не флуктуациями,
а детерминистской составляющей N. Качественные изменения могут
происходить в случае мультипликативного шума при некоторых типах
зависимости F от q. Мы не будем затрагивать этот круг вопросов, так как
он подробно рассмотрен в монографии Хор-стхемке и Лефеве.
Итак, приступим к анализу уравнения (10.1.1). Отбросим флуктуирующую
силу, т. е. пренебрежем членом F или dF. Предположим, что, когда
управляющий параметр а принимает значения из некоторого интервала,
решение уравнения
q = N (q, а) (10.1.3)
существует. Как и прежде, нас будет интересовать устойчивость решения
цо К, а). (10.1.4)
Полагая
q = q0 + w, (10.1.5)
приходим к хорошо известным линеаризованным уравнениям
