Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
устойчивость. Действительно, как только собственное значение а матрицы А
в результате вариации внешнего параметра пересечет окружность | а | = 1,
дисперсия распределения вероятности обратится в нуль, что свидетельствует
о потере устойчивости системой.
Глава 12
ПРИМЕР НЕРАЗРЕШИМОЙ ПРОБЛЕМЫ В ДИНАМИКЕ
Бросая ретроспективный взгляд на предыдущие главы этой книги, нетрудно
заметить, что даже при самом, казалось бы, непосредственном обобщении
проблемы (например, при переходе от периодического к квазипериодическому
движению) решение новых задач наталкивается на качественно новые
трудности. В этом разделе мы хотим показать, что в теории динамических
систем существуют вопросы, кажущиеся на первый взгляд простыми но на
которые даже в принципе невозможно ответить. Рассмотрим динамическую
систему, состояния которой описываются векторами состояния q. Под
действием преобразований Л, В, С, ... , производимых в течение интервала
времени т, система может переходить из любого состояния q в какое-то
другое состояние q':
q' = Aq, или q' = Bq, .... (12.1)
Предположим, что существуют обратные операторы Л-1, В-1, С-1, . . ..
Ясно, что операторы А, В, С, . . . образуют группу. Мы можем рассмотреть
все слова (комбинации), составленные из А, Л-1, В, В-1 и т. д., например
ВЛ~ХС, и задать несколько слов W (А, В, С, . . .), например ВС - 1.
Последнее означает, что последовательное выполнение преобразований С и В
восстанавливает любое начальное состояние q динамической системы. Зададим
теперь следующий вопрос. Предположим, что заданы два слова W1 (А, В, . .
.) и W% (А, В, . . .). Можно ли указать общий алгоритм, позволяющий за
конечное число шагов решить, достигает ли система одного и того же
конечного состояния qx = q2, если начальное состояние q0 в каждой из двух
последовательностей преобразований было одним и тем же? Итак, мы
спрашиваем, верно ли, что
4i = ГСМЛ, В, . . . ) qo=q25s W2{A, В, . . . ) q0, (12.2) т. е. верно ли,
что
W1(A, В, . . .) = W2(A, В, . . . ) (12.3)
или что
WxWTl = l? (12.4)
Вопрос, казалось бы, простой и четко поставлен. Тем не менее на
Пример неразрешимой проблемы в динамике
359
него в принципе нельзя дать ответ: не существует общего алгоритма,
который бы за конечное число шагов позволил распознать тождественность
двух слов. Наш пример заимствован из теории групп и представляет собой не
что иное, как знаменитую проблему тождества слов в теории групп.
Неразрешимость ее доказывается с помощью теоремы Гёделя (которую мы не
будем приводить здесь). С другой стороны, если определяющие отношения Wj
= 1 выбрать специальным образом, то проблема тождества слов становится
разрешимой.
Из приведенного примера ясно видно, сколь осторожным нужно быть при
постановке задач. Особую осторожность необходимо соблюдать в тех случаях,
когда требуется найти общие решения. Необходимо отчетливо сознавать, что
некоторые проблемы допускают решение лишь в ограниченном классе уравнений
или моделей. Вполне возможно, что такого рода осторожный подход необходим
и к проблемам самоорганизации.
НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ ПО ПОВОДУ ВЗАИМОСВЯЗЕЙ синергетики и других наук
Во введении мы перечислили многочисленные явления, представляющие интерес
для синергетики, но обычно изучаемые другими науками. Уже одно это
позволяет утверждать, что между синергетикой и другими науками существуют
определенные взаимосвязи. Но в нашей книге основное внимание уделено
фундаментальным понятиям и теоретическим методам синергетики, поэтому и
взаимосвязи между синергетикой и другими науками нам бы хотелось обсудить
более глубоко и обстоятельно. Синергетика многогранна, и ученый,
знакомящийся с синергетикой с позиций своей науки, по-видимому, прежде
всего обращает внимание на те ее аспекты, которые наиболее близки
основным идеям знакомой ему области знания. Опираясь на опыт
многочисленных бесед и дискуссий с представителями различных наук, я
попытаюсь сначала описать взаимосвязи, возникающие между синергетикой и
различными науками, а затем указать основные различия.
Когда физики начинают знакомиться с синергетикой, у них чаще всего
возникают ассоциации с термодинамикой. Действительно, одна из наиболее
поразительных особенностей термодинамики состоит в ее универсальности.
Законы, или начала, термодинамики выполняются безотносительно к тому, из
каких "строительных кирпичиков" устроено вещество в различных агрегатных
состояниях (газообразном, жидком или твердом). Своей универсальности
термодинамика достигает, рассматривая макроскопические величины или
"наблюдаемые": объем, давление, температуру, энергию или энтропию. Ясно,
что такого рода понятия применимы к большим ансамблям молекул, а не к
отдельным молекулам. Близкий к термодинамическому подход избран теорией
информации, которая стремится давать несмещенные оценки систем на основе
ограниченной информации о них. Другие физики усматривают общие черты
между синергетикой и термодинамикой необратимых процессов. По крайней
