Основы гамильтоновой механики - Хаар Д.Т.
Скачать (прямая ссылка):
рассматриваемой системы, будут силы взаимодействия между частицами, то не
только полная, энергия Е, но также полный импульс системы Р и полный
момент импульса системы М будут интегралами движения. Это можно доказать
следующим образом. Запишем выражения для полного импульса системы и его
производной по времени:
где мы использовали (1.305), (1.306) и (1.302). В выражении (1.308)
индексы / и / немые, и мы вправе поменять i на / и наоборот - при этом
двойная сумма не изменится. С другой стороны, если мы просто переменим
местами индексы / и j в этой двойной сумме, сумма должна изменить свой
знак, поскольку x-tj - - Так как сумма оказывается равной самой себе с
обратным знаком, она должна быть равна нулю; отсюда и вытекает, что Я-
постоянный вектор.
Аналогично, мы записываем выражения для полного мймента импульса и его
производной по времени:
где мы использовали (1.305), (1.306), (1,302) и определение Xij = Xi -
Xj.
С помощью тех же самых рассуждений, какие использовались при
доказательстве того, что Р- интеграл дви-
Р = 2 miXi>
(1.307)
(1.308)
М = 2jm' [•*'"'
(1.309)
34
жения, можно показать, что и вектор At -константа движения.
Не лишено интереса непосредственное доказательство постоянства Р и М с
помощью третьего закона Ньютона (Fij = - Fji), второго закона Ньютона и
геометрических соображений. Мы предоставляем сделать это читателю в виде
упражнения.
Как в классической, так и в квантовой механике играет важную роль
так называемая теорема еириала,
касающаяся среднего по времени от так называемого
вириала Клаузиуса , определяемого как
V^iFrXi). (1.311)
i
Вириал Клаузиуса можно переписать также в виде:
V- - 2'1№ • = -W (2 т т'г°) - 27• (1 -312)
Если рассматриваемая система не разлетается, иными словами - ни одна из
величин х-, или xt никогда не становится бесконечно большой, среднее по
времени от первого члена, стоящего в правой части (1.312), будет равно
нулю, и для этого случая можно записать:
27' + V = 0, (1.313)
где черта над буквенным символом означает усреднение по времени!
<+ г
/= lim Т"1 \ f (t) dt.
Г -* со f
Если к тому же справедливо равенство (1.301), молено также написать, что
(1.314)
I
В том довольно часто встречающемся случае, когда U представляет собой
однородную функцию координат порядка g, можно воспользоваться теоремой
Эйлера для таких функций и написать вместо правой части (1.314)
- gU. Из сопоставления формул (1.313), (1.314) и (1.303) мы получаем:
2Т - gU = 0, T + U = E,
2*
85
вативным, если сила в каждой точке может быть полу-ч _ена из
потенциальной функции U дифференцированием, а именно:
F= - V U, (1.114)
где через V обозначен оператор градиента, компонентами которого являются
операторы д/дх, д/ду, д/дг.
В этом случае
t" г"
$ (F-dx)*= - $ (V U-dx)=> - U" + U', (1.115)
V V
или, принимая во внимание (1.111) и (1.112),
r+W^r + ir. (1.116)
Потенциал U носит название потенциальной энергии, и мы видим
непосредственно из (1.116), что в том случае, когда функция U явно не
зависит от t, полная энергия частицы Е, т. е. сумма кинетической и
потенциальной энергии
E = T+U, (1.117)
представляет собой константу (или интеграл) движения, т. е. такую
величину, которая не меняется во время движения частицы.
Из (1.115) можно также усмотреть, что в случае консервативного поля сил
интеграл, стоящий в левой части, не зависит от того, по какому пути
движется частица, а зависит только от ее положения в начальный и конечный
моменты рассматриваемого интервала времени. Конечно, если бы этого не
было, мы не смогли бы ввести потенциальную функцию. В итоге можно
определить консервативное поле сил требованием, чтобы интеграл /
(1.111) зависел бы только от положения частицы в моменты времени
f и V, но не зависел бы от пути, про-
ходимого частицей в Промежутке времени между ? и t".
Если мы имеем дело с одномерной консервативной системой, уравнение
движения всегда решается квадратурой. Действительно, энергия в этом
случае будет интегралом движения, и мы можем написать;
E*=^m&+U{x), (1.118)
или же, разрешая относительно х,
х = [(2 /m)(E-U)]42. (1.119)
13
Капли н показать, что ее ускорение стремится* некоторому конечному
пределу, когда время стремится к бесконечности.
б. Частица, масса которой равна единице, движется в потенциальном поле с
потенциальной функцией U = - цг"п.
а) Показать, что частице можно сообщить некоторую конечную скорость в
любой точке А (за исключением начала координат) так, что она уйдет на
бесконечность, в том и только в том случае, когда а 0.
б) Найти минимальную начальную скорость (скорость отрыва), необходимую
для того, чтобы частица ушла на бесконечность, как функцию расстояния
точки А от начала координат (это расстояние обозначим через а).
в) Пусть частица испускается со скоростью отрыва из точки А. Показать,
что в любой точке своей траектории частица обладает скоростью, равной
скорости отрыва; показать, что траектория частицы - если она не прямая
линия - будет окружностью при п = 4; показать также, что траектория
