Основы гамильтоновой механики - Хаар Д.Т.
Скачать (прямая ссылка):
обращения частица, равна nab,
27
или же па2 (1 - е5)1/8, где через b обозначена малая полуось эллипса.
Поэтому- мы можем написать:
па2 (1 - е2)иг/х = М/2т;
а используя (1.243) и (1.244), имеем!
что сводится к третьему закону Кеплера, если подставить k = GmMm, где G -
постоянная тяготения, а M& - масса (бесконечно тяжелого) центрального
тела. Если масса центрального тела имеет конечное значение, равенство
(1.246) должно быть несколько подправлено, как мы сейчас увидим.
В начале этого параграфа мы определили центральную силу как такую силу
взаимодействия между частицами, которая направлена по линии, соединяющей
две взаимодействующие частицы. С таким взаимодействием частиц мы очень
часто сталкиваемся в физике; сейчас мы убедимся в том, что такая ситуация
приводит к задаче
о движении одной частицы во внешнем центральном поле, т. е. к той
самой задаче, которую мы только что довольно подробно рассмотрели.
Пусть т1 и т2 - это массы двух рассматриваемых частиц, и пусть силы, с
которыми частицы действуют друг на друга, могут быть получены из
потенциала U (гп), где г1г является расстоянием между двумя частицами.
Нетрудно показать способом, использованным при выводе соотношения
(1.206), что если рассматриваются консервативные силы, то они получаются
из потенциальной функции, зависящей только от г12.
Запишем уравнения движения для обеих частиц:
Вводя центр инерции (центр масс) и относительные координаты с помощью
равенств
т1х1=' - V.U, m2 л;2 =- V2U. (1.247)
(1.248а)
(1.2486)
мы получим из (1.247):
(тх + т2) X = 0, V.X--------W,
(1.249)
(1.250)
где через ц обозначена приведенная масса
//гх -1- //га '
(1.251)
Уравнения (1.249) и (1.250) показывают, что движение двух частиц может
быть описано как суперпозиция движения центра инерции, которое в нашем
случае представляет собой просто свободное движение точки (1.249), и
относительного движения (1.250), которое представляет собой движение
частицы с приведенной массой, движущейся в центральном поле, определяемом
заданной потенциальной энергией. Если масса одной из частиц существенно
превосходит массу другой частицы, то приведенная масса приблизительно
равна массе легкой частицы. Этим и объясняется тот факт, что третий закон
Кеплера справедлив с большой степенью точности. Более точно его следовало
бы записать так:
где Мс - это масса центрального тела (Солнца в нашей планетной системе).
Если Л4с^>т, то правая часть последнего равенства сводится к постоянной
величине 4n2/GMc.
Мы закончим этот параграф вопросом о рассеянии частиц в поле центральной
силы. То обстоятельство, что это поле зачастую создается другой частицей,
означает лишь то, что мы должны вместо массы свободной частицы всюду
вводить приведенную массу. Изучая рассеяние частиц, интересуются не
столько фактическим процессом рассеяния, происходящим тогда, когда
рассеиваемая частица находится вблизи рассеивающей частицы, сколько
конечным результатом процесса рассеяния. Иначе говоря, мы заинтересованы
в таких величинах, как поперечник (или сечение) рассеяния, или же
вероятность того, что рассеяние произойдет на некоторый определенный
угол. Начальные условия задаются энергией и моментом импульса падающих
(рассеиваемых) частиц. Пусть v будет скоростью налетающих частиц на
бесконечности, и пусть прицельное расстояние, т. е. кратчайшее
расстояние, на котором падающая частица прошла бы около рассеивающего
центра, если бы он не изменял ее движения, будет равно р (см. рис. 6).
Выражая энергию и момент импульса через v и р,
" k G(m + Mc)'
4я2[1 4л2
E-^mv2, Al-nwp,
(1.252)
29
мы получим согласно (1.220) уравнение траектории в виде:
0-0,
о ¦
Г
5 Г- г у2 -
pv dr
(1.253)
Если выбрать за г0 расстояние до точки наибольшего приближения к центру,
т. е. значение г, для которого
Рис. 6. Рассеяние в поле отталкивающей центральной силы. Через г0
обозначено расстояние до точки максимального приближения; р - прицельный
параметр;
6sc-угол рассеяния.
г - 0, т. е. значение г, удовлетворяющее уравнению
2 2U (г) р2и2
= 0,
(1.254)
то мы получим для угла рассеяния 0SC (см. рис. 6; обратите внимание на
то, что 0 изменяется от я до 0SC, когда г изменяется от оо до г0 и снова
до оо):
я - Gs
ОО
S г2 Г и2 -
pv dr
[и2 - (2 U/m) - (p2v2Jr2)]
г,2/,2м1/2
(1.255)
Дифференциальное сечение рассеяния do для рассеяния на угол от 0SC до Osc
+ ^sc определяется как отношение числа частиц, рассеянных в единицу
времени в этот интервал углов, к интенсивности падающего пучка.
Интенсивность же падающего пучка определяется как полное число частиц,
падающих на рассеивающий центр,
30
приходящееся на единицу площади в единицу времени. Падающий пучок
предполагается однородным. Из (1.255) видно, что угол рассеяния 0SO
является функцией прицельного расстояния р, и вместо того, чтобы
интересоваться числом частиц, которые рассеиваются на заданный угол 0SC,
мы можем искать число падающих частиц, обладающих прицельным параметром в
