Основы гамильтоновой механики - Хаар Д.Т.
Скачать (прямая ссылка):
пространственных измерения:
U\ = j а' [V(*х - хг)2 + (й - г/г)2 + fa - Ч)2 ~ (2.107)
н тогда связь (2.106) заменится уже на
\xl - xt\ = l, (2.108)
если а' стремится к бесконечности. Доказательство того, что возникает
именно эта связь, довольно непосредственно и предоставляется читателю,
40
С другим случаем связи мы сталкиваемся в системе, в которой действует
потенциал U2 (см. рис. 7, а); этот случай соответствует физически двум
стенкам высотой 1 /Ь. Движение частицы одномерное, и с помощью (1.120)
можно найти зависимость ее координаты от времени. Нетрудно показать, что
если энергия частицы Е меньше, чем 1 /Ь, она будет двигаться взад- вперед
между двумя стенками, от которых она будет отражаться. Когда частица
достигает точки, соответствующей отметке А на рис. 7, а (скажем, в момент
/j), она замедляет свое движение до тех пор, пока ее скорость не
обратится в нуль (допустим, в момент /2 -отметка В на рис. 7, а). Затем
она начинает обратное движение, ускоряясь от В к Л, пока, наконец, ее
скорость не достигает в точке А первоначального значения, но уже в
противоположном направлении.
На рис. 7, б представлена скорость частицы как функция времени. Время tx
соответствует координате частицы х = 1/2L, тогда как скорость частицы v в
этой точке равна v0 - (2Eltn)'l'. В момент времени /2 скорость v - 0, а
координата частицы равна х - 1/гЬ + г/2ЕЬ2Ь (мы предполагаем, что Е<.1/Ь,
так что 1/2Ь-\-1/2ЕЬгЬ<.1/гЬ(\Ь)). В момент /8, соответствующий
возвращению в точку А, скорость v*=- v0, а координата снова равна х -
'ЧХ. Время т, проведенное частицей в "области стенки", определяемой
неравенством VSL ^л:^ VaL (1 -\-b), можно получить из уравнения
"/.1.(1 +?6*) _
"/. L
упростив которое мы получим:
n = mv0b2L.
Из этих формул видно, что в пределе Ь -> 0 время т->0; частица просто
отражается от стенки, а ее скорость меняется скачком, как это изображено
на рис. 7, в. В этом предельном случае движение частицы ограничено
интервалом
(2.109)
другими словами, ее движение ограничено одномерным ящиком с упругими
стенками.
41
Третий потенциал U3 приводит к следующим уравне ниям. движения:
mx = ca(ax-\-$y-\-yz - d), (2.110а)
ту = cfi (<xx + $y + yz - d), (2.1106)
mz = су (ах + (Зг/ + уг - d)\ (2.11 Ов)
если умножить (2.110а) на а, (2.1106) на (3, (2.11 Ов) на у и затем
сложить полученные уравнения, мы найдем, что решением полученного
дифференциального уравнения будет
^xJrh-\y2-d = yr~smyr^{t-ta), (2.111)
где через Е обозначена энергия, соответствующая движению частицы
перпендикулярно плоскости
ах + $y + yz = d. (2.112)
Если перейти к пределу оо, мы обнаружим, что движение частицы ограничено
плоскостью, определяемой уравнением (2.112).
Подводя итоги, мы видим, что в трех разобранных случаях мы столкнулись со
связями следующих типов: а) связи, которые фиксируют,расстояния между
частицами, входящими в систему (первый случай); б) связи, которые требуют
от частицы, чтобы она двигалась по заданной поверхности или вдоль
заданной кривой (третий случай);
в) связи, которые предписывают частице - или системе, состоящей из
частиц, -движение в ограниченной области пространства (второй случай).
Связи первых двух типов могут быть выражены в виде уравнений, которым
должны удовлетворять координаты частицы (или частиц):
Gi(X!.....xh xN) = 0. (2.113)
Уравнения такого вида называются кинематическими связями ила иногда
голономными кинематическими связями. Связи последнего типа описываются
неравенствами:
@т(Хх, ..., Xj, ..., Xjv) ^0, (2.114)
и тогда связи называются уже неудерживающнми. Есть еще один вид связей,
которые могут быть выражены только в дифференциальной форме; они
называются неип-тегрируемыми; к этому случаю связей относится чистое
качение сферы по плоскости. В дальнейшем мы ограни-
42
чимся исключительно голономными связями; лишь в §2.5 совсем кратко
коснемся неинтегрируемых связей.
Один из способов наложения связей на систему заключается в том, чтобы
сказать, что рассматриваемая система обладает уже не 3N степенями
свободы, а только s степенями, где число s определяется равенством
s = 3N - р, (2.115)
причем через р обозначено число кинематических соотношений (2.113),
которые должны удовлетворяться. Эти кинематические соотношения ведут к
появлению некоторых сил, действующих в системе и обеспечивающих
выполнение этих соотношений. Если обозначить эти силы через Fi, то полную
силу, действующую на г'-ю частицу, можно представить в виде суммы, один
член которой будет равен F'i, а другой член Fi обязан действию всех иных
источников. Тогда уравнение движения t-й частицы можно записать так [ср.
(2.101)]:
mjXi^Fi + Ff. (2.116)
Неизвестными величинами являются здесь xt и Ft, т. е. 6N переменных,
тогда как уравнений у нас всего
3N + р, а именно 3N уравнений (2.116) и р уравнении
(2.113). Нам необходимы еще дополнительные уравнения. Их можно получить,
если воспользоваться принципом Д'Аламбера.
§ 2.2. Принцип Д'Аламбера
Вернемся к тем связям, которые возникли как предельные случаи потенциалов
