Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хаар Д.Т. -> "Основы гамильтоновой механики " -> 7

Основы гамильтоновой механики - Хаар Д.Т.

Хаар Д.Т. Основы гамильтоновой механики — М.: Наука, 1974. — 224 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovigamiltonovoymehaniki1974.pdf
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 70 >> Следующая

г. Последнюю функцию можно получить в явном виде, переписав (1.217) так:
т т т2г2 v
Следует заметить, что иа рис. За ось абсцисс разная для разных значений
Е, когда строится график зависимости г2 от г. На рис. 36 приведен график
функции г в зависимости от г для двух значений энергии Ег и Е2,
21
одно из которых положительно, а другое отрицательно. Как из рис. За, так
и из рис. 36 видно, что при отрицательных значениях Е траектория частицы
не уходит на бесконечность и частица всегда находится между двумя
значениями радиуса г, между rt и г2. Вообще говоря, движение частицы
будет происходить по розетке, общий вид которой изображен на рис. Зв. В
предельном случае (соответствующем Е3 на рис. За), когда ось г только
касается кривой t2{r), движение происходит по круговой орбите. Если же
значения Ё положительны, траектория становится открытой (инфинитной): у
частицы оказывается достаточный запас энергии, чтобы уйти на
бесконечность. Это различие между открытыми и закрытыми (инфинитными и
финитными) траекториями, определяемое знаком энергии Е, вновь
обнаружится, когда мы займемся потенциалом вида 1 /г (см. ниже
исследование выражения (1.240)).
Во многих важных случаях уравнения движения существенно упрощаются, если
ввести вместо г обратную ей величину а = 1/г. Эта замена составляет
основу метода Бине, который особенно полезен в том случае, когда
потенциал U задан в виде (1.208).
Мы начнем с разложения силы F, действующей на частицу в орбитальной
плоскости, на две компоненты:
- вдоль радиус-вектора х и F± - перпендикулярно ему. Если введены
полярные координаты (1.211), то это соответствует отысканию компонент Fr
= F\\ и Fq - F^. Эти компоненты нужны нам для того, чтобы записать
соответствующие проекции уравнения движения. Использование комплексных
чисел очень упрощает задачу. Записав уравнение движения частицы в
декартовых координатах
mx - FX) m$ = Fy,
умножим второе из этих уравнений на i (/ = *Т) и
почленно сложим; мы получим:
т (х + iy) =Fx + iFy. (1.222)
Слева в (1.222) стоит вторая производная от комплексного числа z - x-\-
iy, умноженная на т, а справа - комплексная сила Z = Fx\iFy = Rei4.
Переход к полярным координатам несложен; по формуле Эйлера
z = гет\
таким образом, комплексное число z сводит координаты радиус-вектора точки
(1.211) в одну формулу. Комплекс-
22
пая сила Z приложена в том месте, где находится частица, поэтому ее нужно
разлагать по осям локальной ортогональной декартовой системы. Нетрудно
сообразить, что в точке, соответствующей комплексному числу г, эта
локальная система представляет собой повернутую на угол 0 исходную
систему осей (х, у)\ в этой новой системе координат комплексная сила
выглядит уже как Z' =Fr-\-iFд. Но
Z' = ^е'(ф-0) = Ze'9,
отсюда
Fx + iFу = (Fr + iFe) ет. (1.223)
Таким образом, уравнение (1.222) можно записать в виде:
т "S(re<0)=+iF ^ е'9>
или, производя дифференцирование в левой части,
т{Г - г02 + /гВ + 2Щ е'9 = (F,, + iF±) ет. (1.224)
Приравнивая действительные и мнимые части обеих частей (1.224), получим:
fx = m(rO + 2r0) = ^r20 = }^, (1.225)
fji = т (г - гВ2). (1.226)
Поскольку в рассматриваемом случае сила центральная, Fl обращаемся в нуль
и (1.225) сразу лее приводит к (1.214). Вместе с тем из (1.212) вытекает,
что левая часть (1.224) равна -(dU/dr)eie, так что (1.226) можно
переписать в виде:
Рц = ~Тг=т(Г-гЬ*). (1.227)
/Ложно заметить, что из (1.225) вытекает обратная теорема: если величина
г20 постоянна, то компонента F± обращается в нуль и мы имеем дело с
центральной силой. Вычислим теперь d2a/dQ2. С помощью (1.214) находим:
da____ d 1 _ d 1 J dB _ r _ mf ,, oom
dd dS r ~ dt r / dt ~ гЧ ~ M '
и, следовательно, принимая во внимание (1.227), d2a _ d I m?\ / do _ _
mF_
db* ~dt I m) / dt~ M0
!L = JL _ тгй21 =
10 Md\_dr J
J_ dU____________ , dU da m __ _ in dU
MB dr da dr M2a2 Л12 da
23
или же
-~а- 4 о = - - П 229)
dO* ^ №da'
До сих пор мы не делали никаких предположений по поводу конкретного вида
V (г). Теперь мы займемся
уже частным случаем, когда U (г) задана в виде (1.208). В этом случае (J
(а) = - ко и соотношение (1.229), представляющее собой дифференциальное
уравнение траектории, приобретает совсем простой вид:
d2o . _mk
dO2 + ° ~ ЛГа'
Решение этого уравнения можно написать сразу:
1 mk ,
а=Т = № +
+ A cos (6 -60). (1.230)
Таким образом, траектория представляет собой коническое сечение (см. рис.
4). На рис. 4 длина отрезка OS равна Л-1. Нетрудно видеть, что
| OQI = г cos (б - 60), |ру?1 = [1 - л г cos (0 - е0)]/л,
так что с учетом (1.230) мы получим:
\ОР\ г А лм" . .. oots
. - ,-----------71-гг = -г-= const. (1.231;
|p^j 1 - Ar cos (0-0O) mk v
Геометрическое место всех точек Р, удовлетворяющих (1.231), как раз и
есть коническое сечение, что и доказывает наше утверждение. Немного позже
мы выясним, при каких условиях траекторией частицы будут соответственно
эллипс, парабола или гипербола. Конечно, уравнение (1.230) можно было бы
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 70 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed