Основы гамильтоновой механики - Хаар Д.Т.
Скачать (прямая ссылка):
пределах от р до p + dp. Это число равно 2nip dp (I - инте!.сивность
падающего пучка), как это легко понять из рис. 6. Таким образом, мы
получим для дифференциального сечения:
а разрешая (1.255), мы можем найти дифференциальное сечение, выраженное
через угол 9SC. Полное сечение рассеяния можно получить, интегрируя это
выражение по всем возможным значениям 0SC от 0 до я.
Рассмотрим теперь отдельно случай, когда потенциал U имеет вид klr,
причем введем обозначения:
Переменная и по существу есть переменная Бине; что касается величины Ь,
то она представляет собой то расстояние, на котором абсолютная величина
потенциальной энергии равна кинетической энергии частицы на
бесконечности; другими словами, Ь - это расстояние наибольшего
приближения частицы, обладающей скоростью и и нулевым моментом импульса,
к отталкивающему центру рассеяния. Воспользовавшись этими переменными,
можно получить из (1.255), положив u0 = plr0:
Обычно принято выражать da в виде произведения элемента телесного угла dQ
= 2я sin 0SC d6sс, соответствующего рассеянию на углы от 0SO до Qse +
desc, и сечения рассеяния R (0SC):
da = 2яр dp,
(1.256)
(1.257)
или же
(1.258)
da = R (вs0) dQ = R (0SC) • 2я sin 0SO dQs0. (1.259)
31
Тогда для сечения рассеяние мы найдем нз (1.256),
(1.258) н (1.259):
| 0 R (Bsc) = -4 b* cosec* ~ () .260)
- знаменитую формулу рассеяния Резерфорда. Для этого конкретного
процесса рассеяния полное сечение alot (==J da - dQ) расходится. Это
обстоятельство связано с тем фактом, что кулоновский потенциал имеет
длинный "хвост". Можно несколько по-иному взглянуть на этот результат,
заметив, что, как бы ни было велико значение р, все равно рассеяние
остается. Другими словами, мы могли бы ожидать бесконечное полное сечение
рассеяния для любого потенциала, который не исчезает на больших
расстояниях, в противоположность квантовомеханическому случаю, когда
неисчезающий потенциал сам по себе еще недостаточен для того, чтобы
полное сечение стало бесконечным.
Рассматривая процессы рассеяния, мы предполагали до сих пор, что
рассеивающий центр неподвижен. В реальных экспериментах по рассеянию
происходит рассеяние одной частицы на другой. В этом случае мы
сталкиваемся с ситуацией, подобной той, какая рассматривалась несколько
раньше в этом же параграфе; речь идет о задаче двух частиц,
взаимодействующих между собой. Мы видели там, что относительное движение
частиц выглядит так, как если бы центр масс всей системы покоился, а
частица, масса которой равна приведенной массе, двигалась бы в силовом
поле, порождаемом тем самым потенциалом, из которого получались силы,
действующие между частицами.
Замена массы рассеиваемой частицы на приведенную массу - операция
достаточно тривиальная, Тот факт, что только что полученные нами формулы
для сечения рассеяния пригодны для случая, когда рассеивающие центры
покоятся, тогда как в реальных экспериментах по рассеянию покоятся
частицы мишени, имеет, конечно, существенное значение для анализа данных
по рассеянию. Если частицы мишени покоятся, то это значит, что центр
инерции системы будет двигаться, и данные по рассеянию, полученные в
лабораторной системе отсчета, должны быть пересчитаны к системе центра
инерции, прежде чем можно будет воспользоваться полученными нами
формулами.
32
§ 1.3. Системы, состоящие из многих частиц
Теперь мы переходим к системам, состоящим из нескольких точечных масс. Мы
будем предполагать, что сила Fi, действующая на г'-ю частицу, может быть
получена из потенциальной функции U (xt) следующим образом:
F,- -Vjt/, (1.301)
так что уравнения движения запишутся так:
mlxi = Fi = - ViU. (1.302)
Первое следствие предположения (1.301) состоит в том, что рассматриваемая
система консервативна; это значит, что ее полная энергия Е, определяемая
равенством
E^T+U^-^m.xl+U, (1.303)
является константой, поскольку
^ (Т + U) - ^mi(Xi ¦ Xi) + 2(*i ¦ ВД = 0.
i i
Далее мы несколько ограничим класс рассматриваемых систем, предположив,
что потенциальная энергия представляет сумму потенциальных энергий пар
частиц и что сами эти потенциальные энергии зависят только от расстояний
между соответствующими парами частиц г,у-:
и" = о. (1.304) л /
Одним из следствий только что выписанных уравнений будет то, что сила,
действующая на каждую отдельную частицу, равна векторной сумме
(центральных) сил, действующих на эту частицу со стороны всех остальных
частиц; это означает, что силы, действующие в системе, аддитивны. Чтобы
доказать это утверждение, мы отметим сначала, что сила Fy, действующая со
стороны частицы / на частицу i, находится по правилу;
р______V //.,__ _ г __ ^ il xiJ у. _ у. "
Ч - dr.t VJi]- drii Tij, XiJ -Xi - Xj.
(1.305)
2 Д. тер Xaap - 1230
33
Полная (суммарная) сила, действующая на /-го частицу, найдется как
откуда и вытекает справедливость нашего утверждения.
Если потенциальная энергия системы имеет вид (1.304), так что
единственными силами, действующими на частицы, входящие в состав
