Основы гамильтоновой механики - Хаар Д.Т.
Скачать (прямая ссылка):
17
Воспользовавшись полярными координатами, мы можем переписать (1.213) в
виде:
М=тг2 б, (1.214)
Е = ±-тг* +±тгЧ2 + и (г). (1.215)
Соотношение (1.214) выражает так называемый закон площадей. Мы уже знаем,
что М - постоянная величина. Чтобы выяснить физический смысл правой части
(1.214), обратимся к рис. 2. Допустим, что частица сместилась за интервал
времени t, t-\-dt от точки Р к точке Q. Из рис. 2 очевидно, что за время
dt радиус-вектор, направленный к частице, "ометает" площадь
"треугольника",
равную у г2 dB. Площадь,
ометаемая радиус-вектором частицы в единицу времени, называется секторной
скоростью точки. Мы получили, что секторная скорость частицы, во-первых,
равна 4- а во-вторых, обнаружили ее постоянство согласно (1.214). Это
обстоятельство иногда отмечают следующим образом: радиус-вектор частицы
ометает равные площади за равные промежутки времени. Для случая, когда
рассматривается гравитационное поле (1.208), этот результат известен под
названием второго закона Кеплера, но мы только что выяснили, что он
справедлив для любой центральной силы, в том числе и неконсервативной.
Соотношение (1.215) определяет полную энергию частицы в полярных
координатах; мы видим, что кинетическая энергия в полярных координатах
имеет вид:
Т = ~т?2 + ^тгЧ2, (1.216)
где два слагаемых в правой части относятся соответственно к радиальному
движению частицы и к ее движению по окружности.
Q
Рис. 2. Закон площадей. О - центр силового поля; Р - положение движущейся
частицы в момент времени t\ Q -положение частицы в момент t-\-dt. Через 0
обозначен полярный угол. "Треугольник" OPQ определяет площадь,
"ометаемую" радиус-вектором, проведенным из О к движущейся частице.
18
Исключая Й из соотношений (1.214) и (1.215), мы приходим к выражению:
E = \m?*+V{r) + -^. (1.217)
Последний член в правой части этого соотношения может быть назван
центробежной потенциальной энергией. Абсолютное значение силы Fцб,
соответствующей этому члену, определяется равенством
а М2 мг mv\
^цб = dr 2тг* = пи* = ~~г~' (1.218)
где через обозначена компонента скорости, перпендикулярная радиус-
вектору, т. е. направленная по касательной к соответствующей координатной
окружности (М = mrv1). Выражение (1.218) представляет собой известное
выражение для центробежной силы, действующей на частицу (см. формулу
(4.302)). Обратите внимание на то, что центробежная сила возникает только
при переходе к неинерциальной системе отсчета.
По своему общему виду (1.217) совпадает с выражением (1.118), которое
было написано для одномерного случая, только теперь эквивалентная
потенциальная энергия имеет вид U (г)-\~М2/2тг2, т. е.
представляет собой
сумму потенциальной энергии и центробежной потен-
циальной энергии. Уравнение (1.217) может быть, в точности так же, как и
(1.118), решено в квадратурах, причем мы получим:
Г dr
С dr
t - U = Г2Л _2U (r) (1.219)
til
где через r0 обозначено значение г в момент t0. Используя (1.214), можно
переписать (1,219) так:
0 _ 90 = \ ^4- = (-------------------------------р- (1.220)
0 J mr* J Г2 {2m[E-U (/¦)] - М2г-*}1/9
to Го
Последнее уравнение определяет зависимость 0 от г, т. е. дает уравнение
траектории частицы. Две оставшиеся постоянные интегрирования теперь уже
определены: ими будут значения 0 и г в момент t0.
Прежде чем переходить к количественному рассмотрению траекторий частицы,
соответствующих определенному
19
Рис. 3. Качественное исследование траекторий при движении в центральном
потенцнальном поле, а) Зависимость потенциальной энергии, центробежной
энергии и кинетической энергии от расстояния от центра силового поля.
Кривая гг имеет в точности такой же вид, что и кривая -(2/m) U (г) -
М2/т-г2, но с осью абсцисс, исходящей соответственно из точек А, В или С,
вместо точки О. Положение оси абсцисс определяется значением Е, а именно:
А соответствует Ег < 0; В соответствует Ег > 0, точке С соответствует
круговая орбита Е3 < 0.
Рис. 3. б) Радиальная скорость t как функция расстояния от центра
силового поля.
выбору потенциала U, а именно потенциалу (1.208), мы остановимся на
качественном исследовании траекторий в том случае, когда U (г) зависит от
г по закону г~х, для очень малых и очень больших значений г\ для этих
двух предельных случаев коэффициенты пропорциональности могут быть
разными. Потенциал такого типа представляет интерес в задачах атомной
физики. Действительно, наиболее удаленный ("последний") электрон в атоме
с зарядом ядра Z, находясь на большом расстоянии от ядра, будет
находиться в потенциальном поле типа (-е/г), поскольку заряд ядра Ze
заэкранирован остальными
Рис. 3. в) Траектории частицы для отрицательных и положительных значений
энергии Е. О -центр силового поля.
(Z - 1) электронами; если же электрон находится вблизи ;;дра, т. е. все
остальные электроны расположены дальше него, то он находится в
потенциальном поле -Ze/r. На рис. За изображены графики функций -2U(r)/m,
- М2/т?г2 и их сумма (пунктир), а также функция г2 и зависимости от
