Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хаар Д.Т. -> "Основы гамильтоновой механики " -> 12

Основы гамильтоновой механики - Хаар Д.Т.

Хаар Д.Т. Основы гамильтоновой механики — М.: Наука, 1974. — 224 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovigamiltonovoymehaniki1974.pdf
Предыдущая << 1 .. 6 7 8 9 10 11 < 12 > 13 14 15 16 17 18 .. 70 >> Следующая

частицы-если она не прямая - не уходит в бесконечность, если п > 2.
6. Частица, масса которой равна единице, запускается из точки
г0 со скоростью <о вдоль прямой, расстояние которой от начала координат
(т. е. по нормали, опущенной из начала координат на прямую) равно р. На
частицу действует сила притяжения - Nr/r3. Показать, что если N/г0 v2,
то частица будет отклонена на угол, равный при-
мерно я - 2 arctg (v2p/N).
7. Вывести соотношение (1.258), не прибегая к помощи (1.255)
Указание. Полное изменение импульса рассеиваемой частицы
/ 11 0SC '\
направлено по г0 (см. рис. 6) и равно 2mv cos I --------!. С другой
стороны, сила, действующая в этом направлении, в любой момент времени
равна (/г cos б)/г. Изменение импульса по данному направлению равно
интегралу по времени от компоненты силы по данному направлению.
Интегрирование по времени можно заменить интегрированием по углу В, если
воспользоваться (1.214). С учетом (1.252) формула (1.258) получается
непосредственно.
8. Вычислить дифференциальное сечение рассеяния точечной частицы на
потенциальной функции, соответствующей рассеянию на жесткой сфере радиуса
а.
9. Выразить дифференциальное сечение, полученное в предыдущей задаче,
через энергию, теряемую рассеиваемой частицей.
Глава 2
УРАВНЕНИЯ .ЛАГРАНЖА
В этой главе мы начнем с рассмотрения связей, наложенных на систему; мы
покажем, что связи можно ввести как предельный случай обычной
потенциальной энергии. Затем обсуждается принцип Д'Аламбера и на его
основе выводятся уравнения Лагранжа первого рода, которые используются в
нескольких простых примерах. Выводится вариационный принцип Гамильтона, с
помощью которого получаются уравнения Лагранжа второго рода, после того
как вводятся обобщенные координаты. После этого рассматриваются
циклические координаты, функция Рауса и скрытые массы. Далее кратко
обсуждаются неголоном-ные и неинтегрируемые связи и потенциалы, зависящие
от скорости; специально рассмотрен случай движения заряженной частицы в
электромагнитном поле. В конце главы обсуждается связь между бесконечно
малыми преобразованиями координат и законами сохранения.
§ 2.1. Связи
Рассматривается система из N частиц; xt - радиус-век> тор, проведенный к
/-й частице (/=1, 2, ..., N). Обозначим через Ft силу, действующую на /-
го частицу. Полная сила, действующая на частицу, может быть разбита на
две части: первая часть, Fjnt, создается частицами, входящими в систему,
вторая, F,-Xt, обусловлена действием внешнего поля сил:
Ft = F]nt +FlKl. (2.101)
Рассматриваемая система имеет 3N степеней свободы, н если известны все
FT1 и F^, то в принципе возможно решить все уравнения движения. Часто,
однако, невозможно задать заранее все F\nt и Ffxt. Более того, часть 88
этих сил может иметь такую природу, что фактически число степеней свободы
уменьшается и становится меньше, чем 3N. Чтобы понять, как такое может
случиться, обратимся к трем частным случаям, когда потенциальная энергия
задается соответственно в виде:
Первый потенциал относится к одномерной системе, состоящей из двух
частиц; второй - к одиночной частице, движущейся в одном измерении;
третий - к одной частице, движущейся в трех измерениях. Мы будем исходить
из того, что в рассматриваемых случаях действуют силы, обусловленные
только этими потенциалами.
В первом случае, когда потенциал определен согласно (2.102), мы вводим в
качестве новых переменных относительную координату - х2 и координату
центра инерции (miX1 + m2x2)/(m1-]-m2). Как мы видели в § 1.2, координата
центра инерции описывает равномерное и прямолинейное движение системы, а
для относительной координаты мы имеем [ср. с (1.122)]:
где через Е обозначена энергия относительного движения, а через (х-
приведенная масса, вычисляемая согласно
Перейдем теперь к пределу, когда а стремится к бесконечности при
постоянном значении Е. Мы видим, что частота колебаний разности х1 - х2
вокруг значения I возрастает, а амплитуда уменьшается. В пределе мы
иаходим:
это означает, что система ведет себя так, как если бы обе частицы
находились на строго фиксированном расстоянии /
Ui (*i, х2) = 2 а (х± - х2 - /)2;
(2.102)
(2.103)
U2(x)-j, ±Щ+Ь)<\х\;
ия(х, у, г) = ус(ах + |3//+ yz-df, \ a2 + ps + v2= 1. /
(2.105)
(1.251).
(2.106)
друг от друга. Если говорить на современном языке: степень свободы,
соответствующая относительному движению, оказалась замороженной. Такое
вымораживание степеней свободы имеет важное значение в тех случаях, когда
используется квантовая механика. В классической же механике достаточно
сказать, что на систему наложены связи',
t-
6)
Рис. 7. а) Потенциал U2, соответствующий двум стенкам конечной высоты,
равной 1/Ь.
б) Скорость частицы v в зависимости от времени для случая стенок
.конечной высоты.
в) Скорость частицы v в зависимости от времени для бесконечно высоких
стенок.
для той системы, которую мы только что исследовали, связь, задается
уравнением (2.106).
Потенциал ?/х может быть следующим образом обобщен на три
Предыдущая << 1 .. 6 7 8 9 10 11 < 12 > 13 14 15 16 17 18 .. 70 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed