Нелинейная акустика в задачах - Гурбатов С.Н.
ISBN 5-211-02328-5
Скачать (прямая ссылка):
в V с координатой ДХ • пРавила
равенства площадей 2.II следует, что новая координата разрыва
14" <tm% Г \ - ^
Рис. 10
1 Т . I Ч
%(*)
Переходя в формуле (I) к пределу при * получим уравне-
ние
(к*
<Ах
(2)
Таким образом, скорость перемещения фронта в сопровождающей системе
координат зависит только от значений и Ug возмущения на разрыве, которые,
вообще говоря, зависят от расстояния X . Поскольку и Ug принадлежат не
только разрыву, но одновременно и профилю простой волны, для них
справедливо решение 2.1(3), т.е.
- (е/с!) U4at,
л-1 . (3)
С*>9а (u,V (е/с0г) игх.
е. ^ (4)
34
Здесь функция ^ описывает профиль простой волны перед разрывом, ф2 - за
разрывом; - обратные к ф12 функции. Три
уравнения (2) - (4) для трех'неизвестных *?р С*)" образуют полную систему
для решения поставленной задачи.
2.19. Воспользовавшись уравнениями (2) - (4) предыдущей задачи, найти
изменение с расстоянием величины скачка и длительности треугольного
импульса с ударной волной на переднем фронте. При Х"0 импульс задан так:
U./U0= I-'C/Tq (Р^
U=0 при всех остальных 'С .
Ответ. Величина скачка уменьшается, длительность растет;
U. V- cfT J ' W c?T" J •
Поскольку количество движения сохраняется, площадь импульса*^
игСх)Т(х) * U0To a const .
2.20. Показать, что две попутные слабые ударные волны сталкиваются по
закону абсолютно неупругого удара двух частиц; при этом аналогом массы WI
частицы является величина скачка 04- •. аналогом скорости частицы 'ft
- скорость dTp/doo
*- (?/2CQ)(U4+Ug>) движения фронта в сопровождающей системе координат.
Решение. Пользуясь методами графического анализа, показы-
Рис.11
U- А
А
¦"*
СМ
и.
35
(рис.11) - сливаются и образуют одну волну с перепадом (Ц^- ЦЛ
Тривиальное соотношение
(us- Ui>(U2- U4") (us- иг)
есть аналог закона сохранения массы частиц: w/= Аналогом закона
сохранения количества движения =\гл ^
будет соотношение
(uru^(ui+u^+ (ufua)|a(ua+uiV (VU^*K+U") •
которое, как видно, представляет собой тождество.
2.21. По невозмущенной среде распространяется слабая ударная волна, за
фронтом которой форма простой волны описывается функцией ЕИХ/С^ .
Найти зависимость от
расстояния величины скачка на фронте ударной волны.
Решение. Воспользуемся парой уравнений, полученных в 2.18:
fx=TcaU*' Ш
в О
Здесь описывает положение разрыва в сопровождающей сис-
теме координат, иг<" - величицу скачка. Исключая из уравнений Ш'ТрОэс) и
считая получим нелинейное уравне-
ние
1 азе со d rh'V ч
¦5-UL- -г- + СС =- -Г-Ф (ил (2)
2 г diUa е. (Ли* v г>
Решая (2), найдем общее выражение [12^
? . . i _"
"ufi ad$ <3>
Константа интегрирования может быть выбрана, например, по
начальной координате Хр образования разрыва (см.2.1 - 2.6):
ХСи*) Ш Хр , где u*"ua(x?-) - начальная величина скачка
36
(обычно равная нулю, если только передний фронт исходной простой волны не
является отрезком прямой).
2.22. Пользуясь формулой (3) предыдущей задачи, найти изменение
"амплитуды" разрыва (х) при распространении одиночного импульса, равного
U= U^SinCOft при О ^ СОТ &Х и И*0 при всех остальных СОТ. i
Решение. В данной задаче ф'1'-(*) . aTCS'iYl/ц/ц Л и Ф°Р"
плпштяйт пип '
Вычисляя интеграл, найдем
V'8(U-V* +с) -г/а.
где Y=U;,(x')/u.e , t=(8/Co')COU0'X , С - констан-
та интегрирования. Как несложно вычислить (см.2.4), в данной задаче Хр -1
и разрыв начинает формироваться от нулевого
по "амплитуде" скачка V(lps:i>) = 0 • Поэтому константа С*"1.
Таким образом, "амплитуда" ударной волны изменяется в пространстве по
закоцу: иг(*) = 0 при ОС <. ОС р , и
u-2CtC)/Uo = aH-i/г
при Х>Хр-i (или ОООСр ). Видно, что амплитуда разрыва при
увеличивается, достигает при IL*51 2. мак"
симального значения U^*U0 , а затем (в области X >*2. )
убывает ^ 1/ЧтГ.
2.23. Найти изменение длительности одиночного имцульса -полупериода
синусоиды (см.предыдущую задачу).
Решение. Подставляя решение (I) в уравнение движения разрыва 2.21(I),
находим
- __ ЯЦ -2>[vT .
Лг а г 4
37
Поскольку фронт начинает формироваться при в точке
^ = 0 , находим С* 0 . Итак, длительность импульса
т-s с"0. ci.l)
- постоянна до образования разрыва и монотонно увеличивается после
образования разрыва из-за его движения с переменной сверхзвуковой
скоростью.
§ 3. Нелинейные волны в диссипативных средах.
Уравнение Бюргерса.
3.1. Пользуясь методом медленно изменяющегося профиля (смЛ.5), упростить
линейное уравнение
tfg а _ Ъ_ Vu 'S't* 0 3 зса So
описывающее распространение звука в вязкой теплопроводящей среде (см. [5,
6^ ). Здесь & = - коэффициент диссипации, где % , \ - объемная и
сдвиговая вяз-
кость, те - теплопроводность. Найти решения полученного уравнения для
синусоидального и однополярного импульсного (на входе в среду) сигналов.
Решение. Считаем, что диссипативные эффекты приводят к медленному
искажению профиля и переходим к сопровождающим координатам -
,гс/со, . Пренебрегаем членами ,
, ..., а члены порядка j4° взаимно уничтожаются. В результате остаются
