Нелинейная акустика в задачах - Гурбатов С.Н.
ISBN 5-211-02328-5
Скачать (прямая ссылка):
выражению
С ГV S • ">
-во 0 -00
Учитывая свойство преобразования Фурье
г 14
-0О -00
приведем (I) к виду
С =С0 (и) + ^ ¦ \wx\C0(Si)CdQ.
0-00 tv.
Отсюда следует, что для исходных спектров видаС0(х>) 'SJ ^0 ,
, спектр волны на низких частотах в нелинейной среде
описывается универсальным выражением
00 .г
|№.ц"д,г". r-i\$(c)d50\c(a)iia.
(2)
I.2I. Исходя из выражения 1.19(4) для спектра простой волны, найти фурье-
образ сигнала, отвечающего синусоидальному возмущению на входе ф
=U0Eln(00tN
Ответ. Используя соотношение 1.13(1) для бесселевых функций и свойство ^
-функции
^ = ^ S ex^aoiydi, (I)
получим
- во 00
4 "'(2) Vs-OO 21
где г=(е/фо0иох =^х/ос? . После обратного преобразования по Фурье формулы
(2) придем к решению Бесселя-Фубини 1.13(3).
1.22. Найти составляющие спектра , возникающие
за счет взаимодействия интенсивной волны накачки и
слабого сигнала
(I)
Решение. Пренебрегая самовоздействием слабого сигнала, экспоненту в
формуле 1.19(4) можно разложить в ряд по U.j> и ограничиться линейным
членом:
^C'^'23cl(fe/c!')cox\ _
оо ~°° (?}
1 tn -Ъ"% J.
+-^")е е Л- '
ш* (JO
Здесь первое слагаемое описывает фурье-образ волны накачки, а второе -
спектр , рождающийся в результате нелинейно-
го взаимодействия сигнала и накачки. Используя соотношение 1.13(1) для
бесселевых функций и фильтрующие свойства S -функции, из формулы (2)
получим
\с="в° (3),
1.23. Используя результат предыдущей задачи, рассмотреть случай
низкочастотной накачки С0о 4-0. (данная задача есть обобщение I.I7).
Описать спектр сигнала на разных стадиях взаимодействия и оценить ширину
спектра сигнала.
22
Решение. При (00 нелинейное взаимодействие приводит
к модуляции высокочастотного сигнала и появлению составляющих на частотах
CO=+Si + kwe (fc=0,±l*2 ,...) вблизи частоты сигнала. Для фурье-образа
1.22(3) при к(00 получим
4 +*<*о -
(D
Легко видеть, что (I) описывает спектр сигнала с гармонической фазовой
модуляцией
и-г<ХА = %¦ sva, ({/ОЙаЧ^а?]'(2)
Следовательно, при взаимодействие можно интерпре-
тировать как низкочастотную фазовую модуляцию сигнала, производимую
мощной волной накачки. По мере распространения волн глубина модуляции
возрастает. При (?/"0)г"Л в спектре преобладают две гармоники (0 = Q>±
Gi0 . При спектр существенно уширяется. Используя асимптотики функций
Бесселя при больших значениях аргумента [ге] , можно оценить эффективное
число гармоник в спектре (I):
Соответствующая ширина спектра ДО}*-
1.24. Используя результат 1.22(3), рассмотреть случай высокочастотной
накачки (94<а>о) . Дать физическую интерпретацию процесса нелинейного
взаимодействия.
Ответ. Нелинейное взаимодействие приводит в этом случае к появлению двух
спектральных составляющих co=kco0±Q вблизи каждой из гармоник СО* VC00(
волны накачки
VCs-oo
23
§ 2. Плоские нелинейные волны с разрывами
2Л. Определить максимальное расстояние - границу области, в которой
справедливо решение 1.8(1) Ц. = + ? UX/c^
уравнения простых волн.
Решение. В задаче 1.8 вычислена производная
Максимальное расстояние 'ЭСр , как видно из (I), следует находить из
условия
Обращение в нуль знаменателя (2) в формуле (I) отвечает т}ому, что в
некоторой точке профиля на расстоянии производная
(I) обращается в бесконечность - касательная в этой точке становится
вертикальной; иными словами, начинается процесс образования разрыва в
профиле простой волны. Искомая точка профиля соответствует максимальному
значению функции ^ , т.е. находится из условия <Г=0 . Таким
образом, два условия:
и (2) позволяют решить поставленную задачу.
На практике удобно воспользоваться тем, что решение уравнения простых
волн может быть записано в явном виде 1.10(1) относительно
Тогда указанные условия: а) на расстоянии возникает
зуется в точке перегиба кривой - приводит к паре
уравнений
(I)
СЗ)
о
вертикальная касательная к кривой
б) разрыв обра-
2.2. Решая уравнение простой волны 1.5(3) методом характеристик, дать
наглядную иллюстрацию полученному в предыдущей задаче условию
однозначности решения. Определить, какой участок профиля исходного
возмущения Ц, ( x=Q, ТГ ) "опрокинется" первым и на каком расстоянии
это произойдет.
Решение. Система характеристических уравнений для уравнения в частных
производных 1.5(3) имеет вид
dT/dx =-(е/с|)а, du/<bc=0, (1)
<С(х=0) а(х=0,То) =ф(Т0). Здесь Т,, С U. ) -точка
в сопровождающей системе координат, из которой выходит характеристика для
возмущения U. (рис.4). Решение системы (I)
<с -t, - (е/со)Ф (т^ос и)
описывает семейство прямых на плоскости (*С ,:? ) с различным наклоном,
зависящим от VJL (%>)¦ Заметим, что (2) - это выражение 2.1(3),
записанное в других обозначениях. Временной интервал между соседними
характеристиками согласно (2) изменяется так: г г -1
dt=d'c0|_{-(6/cn^ec0>j. (з)
Следовательно, опрокидывание волны произойдет тогда, когда характеристики
в первый раз пересекутся (см. рис.4) и d*C
обратится в нуль. Это произойдет на расстоянии
^C^=cf/?max$'(Toy w
