Нелинейная акустика в задачах - Гурбатов С.Н.
ISBN 5-211-02328-5
Скачать (прямая ссылка):
Решение. Используя (I) в качестве первого приближения, для нахождения
второго приближения получим из 4.10(1) следую-
щее уравнение
д U.^- -
с' 'Н*
'Н'
(2)
Правая часть (2), описывая нелинейные источники на разностной частоте ?2
, с учетом (I) примет вид
60
+кл., * vtc.c.">
Co
Отыскивая решение (2) в виде U = A,_0tCb (,- ^ 5 ддЯ
амплитуды Av- волны разностной частоты получим неоднородное уравнение
Гельмгольца
л А_+КгА_=су, K=S/c0. (4)
Решение этого уравнения
Р оКг
(5)
ЗдесьЯ-- радиус - вектор точки наблюдения, Я,- -К.&дД- радиус - вектор
текущей точки объема V , занятого областью пересечения
взаимодействующих^волн Сд\ , СОг В дальней зоне дифракции, где l'Rl"l'Rl|
, можно приближенно положить
(6)
Подставляя выражения (3), (6) в интеграл (5), приведем его к виду * с о*
ЛЯ
къ--кк --М . <7>
- гогс*'4'4 я •'vv
Наибольший интерес представляет структура выражений , , определяющих
направленность излучения, которая связана с поперечным ^
(8)
(\i -г
-оо 41
и продольным (вдоль оси *Х )
61
оО
-
Ъ\
^ (9)
V
распределением первичного поляЦ^ (I). Интеграл (8) представляет собой
разложение в угловой спектр функции ^ " ои
имеет такой же вид, как если бы волна иь непосредственно излучалась
источником высокочастотных волн , СО^ . Интег-
рал (9) более интересен; он описывает направленность излучения волны й ,
возбуждаемой распределенными в пространстве нелинейными источниками . .
/ л &б
В формуле (10) использовано соотношение 4.-^C/RGOS0^i
0 - угол между осью пучка X и направлением на точку наблю-
дения.
Когда (вдоль области взаимодействия укладывается
много длин волн разностной частоты), излучение направлено под малыми
углами к оси. Характерная угловая ширина диаграммы направленности, как
следует из (10), равна
Ширина диаграммы (II), определяемая продольным распределением поля иЯ ,
как правило, много меньше ширины, определяемой поперечным распределением
(8). Именно (II) определяет узкую направленность низкочастотного
излучения.
§ 5. Акустические шумы большой интенсивности
5.1. Пренебрегая флуктуациями частоты, найти вероятностное распределение
и среднее для длины образования разрыва плоской квазимонохроматической
волны, считая известным вероятностное распределение амплитуды W*. (а').
Решение. Из результатов задачи 2.4 следует, что длина образования разрыва
ОС плоской монохроматической волны равна
62
г,
2CpS=C0/?CDCL , где GO - частота, Cl - амплитуда волны.
Эту же формулу можно применить и для квазимонохроматической волны, когда
амплитуда и частота мало меняются на периоде волны Таким образом, задача
сводится к нелинейному преобразованию
^р=|(а-У а>
Если обратная функция ot=| однозначна, то вероят-
ностное распределение Х:(хр) связано с Ч<& соотношением
V, W -Wa [ГС*?')]' | <*Г(*,>У<Ц|.
Для моментов величины ОСр справедливо
^р) = I |%yW(a)da.
- оо
Для вероятностного распределения длины образования разрыва и её среднего
получаем соответственно
(2)
(3)
=УУ(соДшз;р)' ,
<*?> =(co/?w)JWa(a> а1-da.
5.2. В условиях задачи 5.1. проанализировать два случая: а) амплитуда
сигнала распределена равномерно в интервале [*i. <41 ; б) входной
сигнал гауссов с дисперсией ег. Ис-
пользовать, что вероятностное распределение амплитуды гауссово-го сигнала
имеет рэлеевское распределение
?а(а)=(а/^). ех|р(-аг/2бг).
(I)
Ответ. Для вероятностного распределения длины образования разрыва и её
среднего соответственно имеем из 5.1(4):
. о . [С" Auaa * c"/8uiail *
?tp> = -?5- kih. 4 p/ (a.j-a^?io L a, •
егсо'бгх^ pv г".гсогб1х*) '
C2
v-o
?(06*
5.3. Найти вероятностное распределение амплитуды разрыва
квазимонохроматической волны
UL0Ccc')=a- sia(to'C+^'),
считая, что входной сигнал гауссов. Флуктуациями частоты пренебречь.
Решение, амплитуда разрыва Up определяется из уравнения (см.задачу 2.13)
. и. е
arcsta-?- =- cou.x . сг¦>
a c| р г
Используя формулу 5.1(2) и учитывая, что при Со /?СдЗХ
разрывы не образуются (формально, их амплитуда равна нулю) для
вероятностного распределения амплитуды разрыва?ц. (Up) имеем
С*/?ШХ
о (3)
¦W.
1. 1
Lsift(ec;2<ou(,'x)J iuД%*л(ес?ма^] '
Для гауссова входного сигнала, когда амплитуда распределена по
рэлеевскому закону 5.2(1), из (3) получаем
XiKV ^ (ирУ [i - exp(-cS/2tcoVxa)| + ^
+exbl ^_________________.1. - -[_____________1&
126 •ылг(?с0гбоарх')1 2"ЧиД&т(ес*ши,:?)] .
64
5.4. Найти среднее в единицу времени число разрывов П на расстоянии от
входа для квазимонохроматического гауссова входного сигнала. Использовать
результаты предыдущей задачи.
5.5. На начальной стадии проявления нелинейных эффектов (расстояния
Х/0Ср^ 1 ) для амплитуд высших гармоник простой волны справедливы
следующие выражения (см.задачу I.I3)
A o' [ri ^сох]Л'1/У • (I)
Считая, что на входе заданы регулярный монохроматический сигнал амплитуды
а0 и гауссов квазимонохроматический сигнал с дисперсией б2 , такие, что
интенсивность у них одинакова(?г=С1д/?) сравнить интенсивности высших
гармоник шумового -регулярного -С А1/2.У сигналов. Л
