Нелинейная акустика в задачах - Гурбатов С.Н.
ISBN 5-211-02328-5
Скачать (прямая ссылка):
Ответ. Л <A^>/AV " •
5.6. Найти корреляционную функцию и спектр простой волны на начальной
стадии, ограничиваясь первым приближением в решении уравнения простой
волны методом возмущений. Считать, что входной сигнал стационарен,
гауссов}с нулевым средним, с корреляционной функцией и спектром
Решение. В первом приближении решение уравнения простой волны 1.5(3)
можно представить в виде
т.е. связь и U0 представляет последовательность квад-
ратичного детектора и дифференцирующей цепочки. Для корреляционной
функции Ц (ft} при гауссовом входном сигнале имеем (r) 65
. (3>
С учетом связи процесса и его производной для корреляционной функции
простой волны получаем -
4"U<*/e*fy -Щ- || I] (§. (4,
Так как возведению в квадрат корреляционной функции соответствует свертка
спектров, то для спектра простой волны из (4) следует
со
UjO^
k in im\ a.
(5)
(6)
TO#"1!!#)
-CO
5.7. Найти спектр простой волны на начальной стадии для гауссова
входного сигнала в случаях: а - широкополосного шума с корреляционной
функцией ^о(ф=вгехр[*-дгдг/2] ; б -
узкополосного шума с Vs)=e2e*p[-iJ?8/2]'eobio,,9 (со.^.
Проанализировать,где возникают новые спектральные компоненты. Ответ.
Используя результаты предыдущей задачи,получаем
2 / - -2 2 гл 2 _
a) s М ? (е
Нелинейное взаимодействие приводит к уширению спектра Г _ (uyvQ_0)a
" V5, !'V
гг..гГг г/ шг _(W-2w,') (U+2U^\'
*Щ(2е"'+е +е )j
Новые спектральные компоненты возникают вблизи нулевой и вблизи
66
удвоенной частоты СО = 2(О0.
5.8. Найти усредненную по времени корреляционную функцию простой волны на
начальной стадии для входного квазимонохрома-тического сигнала с
гауссовыми фазовыми флуктуациями
М*) =а0со",[ш0гс + Ч>С<с^, (D
считая известной структурную функцию флуктуаций фазы
(г>
Описать качественно спектральный состав волны.
Ответ. -М) EV i J! -П|Й
или, учитывая медленность флуктуации фазы, (
Нелинейное взаимодействие в данном случае приводит к появлению
спектральных составляющих вблизи удвоенной гармоники сигнала.
5.9. В условиях задачи 5.8 найти спектр простой волны на начальной стадии
для сигнала с ограниченными и малыми фазо-вши флуктуациями (^(^2 '
сш~
тая известным их спектр a ((oV • ^
Ответ. (va)^,x)=
=2° + ^(w-Wo^+g^Cw +и)ф.
+ ^^г^'46^С"'г^+^с'0+а"^+Чч'й'г^+1^"'Л4Ц-
Здесь первое слагаемое в квадратных скобках описывает спектр исходного
сигнала, а второе - составляющие вблизи второй гармоники, появившиеся из-
за нелинейного взаимодействия. Перед вторым слагаемым можно заменить to
на 2to0.
5.10. В условиях задачи 5.8 найти спектр простой волны на начальной
стадии для сигнала с частотными флуктуациями
67
в случае "больших и медленных" флуктуаций частоты, когда структурная
функция фазы может быть аппроксимирована как fct)= ТГ ^ • Найти ширину
спектра на
первой и второй гармониках. 2
Ответ. ? - (0)-й)о)г (ОО+СОр) -i
а(хю)=-Д2=, р 2а5 ,А гя? +
Iе i
2 12 2 Г (C0+2(0",f-|
,__________________________________p 4s^ +p 4sr*
1 "Ч та?1е e
дЧ=2, диг=Ей ¦
(I)
5.11. Найти спектр простой волны на начальной стадии для входного сигнала
с малыми амплитудными флуктуациями
41,
считая известным спектр амплитудных флуктуаций . Срав-
нить со случаем малых фазовых флуктуаций - задача 5.9.
Ответ.
=?° [^(w-Чу уи>-4) + $*ОД*Чл\ +
+ \tc? •
В этом случае, в отличие от сигнала с фазовыми флуктуациями, происходит
детектирование сигнала и появление низкочастотных компонент - первое
слагаемое во вторых квадратных скобках.
5.12. Найти спектр простой волны, используя выражение для её фурье-образа
1.19(4), считая, что на входе задан стационарный шум с характеристической
функцией
где 4>('t)=u0(a;=o,'r) . Рассмотреть поведение спектра на начальной
стадии. rQ
(I)
Решение. Для стационарного процесса фурье-образ спектр мощности ^(СО)
связаны соотношением
^СГ Сu^C V)> = g(u>) Cw-w'). (2)
Умножая фурье-образ простой волныС(а/2>) (I) на комплексно
сопряженную величину и усредняя, получаем
/CfXw) =-;--------------------- .
Л 4этгми/(б/с*)гхг
'5)\ [бг(Хс*>>-W,(?Ao)-x >'la-51')- 01("О/<?')*)-
здесь ЭС|р(Ц ^ - одномерная характеристическая
функция. Переходя к интегрированию по учитывая что °9
-оо
для спектра интенсивности получаем
"(r)° "I cUife
Пусть, для простоты <Ф>-0 , тогда разлагая характеристи-
ческую функцию в ряд по моментам
0ДХ =Хе4ХЛШХ.., Q4(*>4tV+- > ег=^!>.
Из (3) имеем при *Х-^0
-"о
где 8.^ - спектр сигнала на входе.
69
5.13. Найти спектр простой волны, считая что на входе задан стационарный
гауссов шум с нулевым средним и корреляционной функцией ЪвС?>.
Ответ. Используя выражение для характеристической функции гауссова
процесса}из 5.13(3) получаем
--<0г(е/фЧг У Ъ г
'-{Т л'"
где^о ~ дисперсия входного сигнала.
Примечание. Двухточечную характеристическую функцию гауссова процесса
легко получить, вспомнив, что для гауссовой случайной величины
справедливо равенство
62/2
2 . 2 у
где - дисперсия:
5.14. Считая, что корреляционная функция гауссова сигнала характеризуется
единственным временным масштабом Т* = 1/с0о и представлена в виде
