Нелинейная акустика в задачах - Гурбатов С.Н.
ISBN 5-211-02328-5
Скачать (прямая ссылка):
ется единственным масштабом 't'C'X) , оценить рост этого масштаба из-за
слияния разрывов.
Решение. При случайных возмущениях U0(fC) скорости разрывов также
случайны. Вследствии этого будет происходить стал -кивание и слипание
разрывов, приводящее к увеличению характерного временного масштаба поля
*?*((?) . Оценку роста Т(сс) можно получить, написав уравнение для
средней частоты следования разрывов в единицу времени KLC'X) , которое
связано с внешним масштабом соотношением к. С/х) в 1/*Т(ос). Уменьшение
И. (рс) за счет столкновений пропорционально как числу разрывов П(х), так
и отношению характерной "скорости" сближения разрывов A'CTeV^V и
характерному расстоянию между ними t ~i/yi \
2E"-4-x)-"'A,r-
(I)
В качестве оценки "скорости" сближения разрывов можно считать, что ДТГ
порядка характерного разброса скорости разрыва Используя выражение для
"скорости" разрыва 5.19(3), для получаем оценку ~
<а ч?> *<"•> * *г > (2)
или>если задана V''0=<u,(vT)Uo('0>. й.&О-6'.
корреляционная функция входного сигнала, то
г
l/vt
v^Xx) <4=
75
, ?>*о, Т-о.
(3)
здесь - значение спектра начального возму-
щения на нулевой частоте. (При ф Ф 0 исходное время корреля-ции *С0 ^
определяется из условия > при ^=0 -из
условия ^ "^.%oC'0^vt= "^о ^ ' ^°Дстауляя в (1)5для рос-
та внешнего масштаба получаем следующие оценки
Г'е.(*Л(,У/*, т>*о,
. к/i <4>
1*.(*/т,,У , т>-о,
здесь 'Хр ~^-о /" характерная длина проявления нелинейных эффектов.
5.21. Предполагая, что статистические характеристики интенсивного шума
становятся автомодельными, записать выражение для спектра мощности волны
и, используя 5.20(4), оценить энергию поля на стадии развитых разрывов.
Ответ. м , о-^'-хЛ
*> SM--^g-sc4t)
?
где о - универсальная безразмерная функция.
в> < а20,т:)> "а I ГЪ> Т>*°>
Таким образом, из-за слияния разрывов энергия шума спадает медленнее, чем
для гармонического входного сигнала, для которого 4.U*^
Примечание^ Достаточно подробно вопросы эволюции интенсивных шумовых волн
рассмотрены в монографиях и обзорах ?5,13-15] .
5.22. Используя выражение для Фурье образа простой волны
1.19(4) и разложение [1б]
^ в , (D
Т ( \ К=-оо
где функция Бесселя, найти спектр интенсивности акус-
тической волны, представляющей на входе смесь шума № и сигнала 4,(V) = A-
co<>((a6l+^>) , где фаза Ч* равномерно распреде
76
лена в интервале [-ЗГ, ОгЗ . Считать, что \(?) имеет гауссово
распределение с корреляционной функцией (/О • Исследовать затухание
дискретных составляющих из-за нелинейного взаимодействия с шумом.
Проанализировать форму спектра, если шум низкочастотный по сравнению с
сигналом.
Ответ. Спектр мощности удобно представить в виде
/ Л J (к §и>0Ь'х)
* у
Ks-oQjK^O ¦> . J , / .
T2(VbO 7 г lui^
*г?55-'е .Ue -1led'5'"'
.j;
у " x _4>
где \(S) = Cl.CTV'j(x+|p , ^=Ъ0(°У
Здесь первая сумма описывает амплитуды гармоник, ослабленные за счет
взаимодействия с шумами, причем декремент затухания определяется полной
мощностью шума 6^ и растет с ростом номера гармоники.
Второе слагаемое описывает спектр шума, искаженный за счет взаимодействия
с регулярными сигналами. И наконец, последняя сумма представляет новые
составляющие спектра, возникшие за счет взаимодействия сигнала и шума.
Если характерная частота шума ^ много меньше частоты сигнала , то
вновь появившиеся компоненты расположены
вблизи гармоник регулярного сигнала. Для этих составляющих, возникающих
вблизи к -ой гармоники, можно записать из (I)
ас n ^г?гчЧг*2г"г
3<&<4>*з?е у j[e -ф d?_
здесь Дк = - амплитуда Ас-ой гармони-
ки сигнала. Форма спектра определяется величиной
77
5.23. Показать, что если искажениями низкочастотного шума можно
пренебречь, то для спектра вновь появившихся
составляющих выражение 5.22(2) справедливо и на разрывной стадии и тогда
здесь А* - амплитуда гармоник разрывной волны.
Решение. Если -величина постоянная, то решение
уравнения Бюргерса описывается выражением 3.4(2). Эта же формула
приближенно справедлива., если - медленная функция^ и тогда
U(cc>'t) = tjQc)+n(T+^Cc)ic, х), (I)
где п(*яО - поле высокочастотной волны. Таким образом, нелинейное
взаимодействие приводит к модуляции гармоник высокочастотной волны.
Учитывая, что^(Я0 -гауссов сигнал, можно получить выражение для спектра
5.22(2).
Таким образом, входящая в ответ предыдущей задачи величина определяет
величину фазовых флуктуаций. Прит.^^1 из 5.22(2) получаем, что спектр
вновь возникающих гармоник повторяет форму спектра НЧ шума
I - 0о
а при спектр имеет универсальный вид.
Действительно, разлагая и используя
метод перевала, получаем из 5.22(2) 2
Дг (U)-к(л)р^
то есть форма спектра гауссова, а его ширина равна ^ и много больше
ширины НЧ шума.
ЛИТЕРАТУРА
I. Зарембо Л.К., Красильников В.А. Введение в нелинейную акустику. М.:
Наука, 1966.
<?. Остроумов Г.А. Основы нелинейной акустики. Л.: Изд-во ЛГУ,
1967.
3. Мощные ультразвуковые поля. /Под ред. Розенберга Л.Д. М.: Наука,
1968.
4. Ве^егЪ.Т NcmEuae&r AvCouvUcs. US^ Nstvat SV\i? Systems Comma wd ,
