Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гурбатов С.Н. -> "Нелинейная акустика в задачах" -> 10

Нелинейная акустика в задачах - Гурбатов С.Н.

Гурбатов С.Н., Руденко О.В. Нелинейная акустика в задачах — М.: МГУ, 1990. — 80 c.
ISBN 5-211-02328-5
Скачать (прямая ссылка): nelineynayaakustikavzadachah1990.pdf
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 19 >> Следующая

члены одного порядка малости jA* , которые образуют уравнение
параболического типа
'Эи Ъги. ^ _ &
*Эх " ' ?с^0 ' <2)
Общее решение (2), отвечающее исходному возмущению произвольной формы U-
(ЗС-ОД') = U0(V) " выражается с помощью функции Грина
38
U(tC/C>f к' 0_=ЁЕЕ^^!11 (3)
-"о 4 4зг§х
Для гармонического исходного возмущения Ul^-k^ss: a-S'uv,oai получим
= а- ех^(-*$согх) • sin. cot (4)
- это затухающая по экспоненциальному закону волна. Величину
, обратную коэффициенту затухания ~ l/S'OO2') , называют характерной
длиной затухания. Условие % означает,
что амплитуда волны (4) уменьшается незначительно на расстояниях
порядка длины волны % . Отношение
** с* S. (5)
- малый параметр задачи; он порядка отношения правой части (I) к любому
из членов левой части этого уравнения. Наличие малого параметра Jit
оправдывает переход от (I) к (2).
Для однополярного импульса, имеющего на входе характерную длительность t0
, на расстояниях 4$ ас А! 1 ширина функции О Cac/t") становится много
большей "L0 , и формула (3) упрощается
А °г
и.(яс"_а = С-(аЯ \ а0(х'убх(6)
4о -иоо
Таким образом, на больших расстояниях импульс принимает асимптотическую
форму гауссовой кривой.
3.2. Получить эволюционное уравнение Бюргерса, описывающее медленные
процессы искажения профиля волны из-за наличия у среды нелинейных и
диссипативных свойств.
Решение. Методом медленно изменяющегося профиля ранее были получены
уравнения простых волн 1.5(3) и параболическое уравнение 3.1(2)
39
Ь bf ' <)X Ъхг c0 ' 2cV/'
. _ A I № •¦¦ Л ¦<¦ w \
V (I)
0 JO
описывающие эволюцию профиля вследствие нелинейных и диссипативных
эффектов по отдельности. Поскольку эти эффекты слабые, в исходных
уравнениях они описываются независимыми членами; следовательно, в
упрощенное уравнение нелинейный и диссипативный члены будут входить
аддитивно, в виде отдельных слагаемых. Таким образом, приходим к
обобщению уравнений (I)
, (8,
называемому уравнением Бюргерса. Если перейти в (2) к безразмерным
переменным
V=-ir , в-аЯ. ,
U-0 J
где U 0 - характерное значение возмущения (например, амплитуда
гармонической волны или пиковое возмущение в импульсе), СО -характерная
частота периодического сигнала (или обратная длительность импульса),
уравнение примет вид
(4)
ъч v м зег '
Здесь число
р 1и> _ I
"2ес.9.и7 2е-Ъ ~ цо ^ <5)
- единственный безразмерный комплекс параметров, входящий в уравнение (I)
и тем самым полностью определяющий процесс эволюции. Иногда вместо Г
используют акустическое число Рейнольдса Tte =s^2 6 Г У • Можно записать
Г как отношение характерных нелинейной и диссипативной длин
40
-^ С w W.Q ЪСО'*
Отсюда следует, что величина Г оценивает относительный вклад нелинейных и
диссипативных эффектов в искажение профиля волны. При Г4.1 преобладает
нелинейность, при П^1 -дисси-
пация. Последовательный вывод уравнения Бюргерса (2) из уравнений
гидродинамики дан в .
3.3. Принимая, что коэффициент поглощения звука в воде определяется
значением 6=0.6- Ш'1тсг/см , а в воздухе $=0,5$ саЛм, оценить
акустическое число Рейнольдса в задачах 2.7, 2.8, 2.10.
Ответ, а)Не"22 . б)Не"Л • в)Не"300 .
3.4. Пусть П есть некоторое известное решение урав-
нения Бюргерса 3.2(2), соответствующее условию на границе ПС"=0)т) =
По(т) . Найти решение, отвечающее наложению постоянного "течения" со
скоростью Vo" cons^. на исходное возмущение П0 , т.е. и.(*.о,*0 " V, +
n.(ty (i)
Ответ.
U. (¦*,*)-Ч + (2)
Скорость распространения волны П "по течению" на ДС "
~ 5*соЧ" = ?Vo больше, чем по не возмущенной среде.
3.5. Найти стационарное решение уравнения Бюргерса, удовлетворяющее
условиям симметричного скачка U (fC-^-oo^ *-U0 и ULft-^oa) яЦ0 .
Используя преобразование (2) предыдущей задачи, построить стационарное
решение, которое удовлетворяет условиям U. -*¦ - оо) s=U^ и U. (Х-** ^ =
U j>>^U .
Ответ. Стационарная волна отыскивается в виде =
= U.(T + Coc) , где константа С определяется из условий при <?-*>±оо . В
первом случае стационарное решение имеет вид
u- и ад - ue. ^ = V
и описывает симметричную ударную волну, бегущую со скоростью
41
звука. Ширина фронта обратно пропорциональна величине скачка Ц8 Полагая
V0 * (Ut+ , U0-(Ug~Ut)/^ , из (I) и
3.4(2) получаем для движущегося ударного фронта
Ut+Ua U^-U-i ^^0/^ Л U^+IU \]
а-5---------------
Полезно убедиться в том, что скорость движения фронта слабой ударной
волны (2) не зависит от его ширины и совпадает со скоростью 2.18(2)
движения разрыва.
З.б. Показать, что уравнение Бюргзрса заменой переменных
а=И ¦ *>--?-ш и_2%
~ $ Ъ* (2)
(замена Хопфа-Коула) сводится к линейному уравнению диффузии. Найти общее
решение уравнения Бюргерса.
Решение. Из уравнения 3.2(2) для ? получаем уравнение
"Ъсс
которое после перехода (I) к U сводится к линейному параболи ческому
уравнению
'Эи
'йсс " '
совпадающему по форме с 3.1(2). Решение этого уравнения с условием на
границе U 0х- * =Ц>запишется аналогично
3.1(3):
С учетом замены (I)
X
-во
42
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 19 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed