Нелинейная акустика в задачах - Гурбатов С.Н.
ISBN 5-211-02328-5
Скачать (прямая ссылка):
ъ0ег)=в* , обезразмерить вы-
ражение для спектра простой волны 5.13(1).
Ответ.
. Q г=|гвА^. (1)
я, Q, { Г ггй2%) Л iftn
-Це Ч
А (2)
5.15. Проанализировать эволюцию спектра и корреляционной функции простой
волны, представляющей на входе квазимонохрома-тический сигнал с
корреляционной функцией
. fc.(?)4(*S). ">
где Ш - медленная (в масштабе cos функция,
70
характеризующаяся масштабом Т*i/д^ , таким, что jA =.Д^/СО^ i .
Решение. Используя замену переменных 5.14(1) для безразмерного спектра
получаем из 5.14(2)
-оо
Используя разложение экспоненты по модифицированным функциям Бесселя
, можно представить (2) в виде суммы спект-
ров на гармониках сигнала и низкочастотной компоненты
51[ЦгЧг^нУ*'-'н, ш
Wy* ~ч- *ь
Поскольку 4?. I , то спектр YI -ой гармоники сосредоточен вблизи SeL "г
УЬ и можно заменить в аргументах выражения (5)Q на W/ и тогда 2q2 .
г\
-WAv6)
Из (6) сразу следует, что корреляционная функция может быть представлена
как сумма корреляционных функций отдельных гармо-
ШК КСг&У I>4'<''>
и низкочастотной компоненты.
Используя разложение функций Бесселя,можно показать, что эффективность
генерации гармоник на начальной стадии для шума в W\ раз больше, чем для
регулярного сигнала (см.задачу 5.5).
5.16. Используя результаты предыдущей задачи,найти выражение для
низкочастотной части спектра, возникающей из-за детектирования
модулированного высокочастотного сигнала и оценить ширину спектра а -ой
гармоники ДСОд, на начальной стадии}
71
-иеДь г-
считая, что на входе^ __^ Z?* ^
Решение. Для низкочастотной компоненты при (там,
где применимо приближение простой волны) можно разложить T_(j6)=
Для высших гармоник при можно воспользоваться разложением ~ и
тогда
^//г^)
таким образом или A'Tfv. . При
^ (Оо спектры гармоник сливаются.
5.17. Используя решение простой волныдоказать, что для стационарного шума
одноточечное вероятностное распределение сохранится. Предположить, что
выполняются условия эргодичности.
Ответ. Для эргодичного процесса вероятностное распределение совпадает с
относительным временем пребывания процесса в интервале UL , Ц+Д\Л (рис
.16)
где Т - общая длина интервала, Д"Ьц, - длина интервала, где функция
находится в промежутке UL , UL+AU. . Из-за нелинейных искажений длина
каждого из интервалов будет меняться. Так как для каждой точки профиля в
сопровождающей системе координат справедливо соотношение ^•o-Cfe/cf^u'x *
, то
д1ЛС^=^Л(оН(е./с|)ди.-'х (2>
и,следовательно, сумма двух любых соседних временных интервалов
постоянна: следовательно,не меняется и
вероятностное распределение. К изменению вероятностного распределения
приводит образование разрывов.
5.18. Найти вероятностное распределение гармонического на входе сигнала
U0(*)=a-si",(co,'t+4i) (D
со случайной фазой, равномерно распределенной в интервалеСГГЛ*зт\
Рассмотреть стадию до образования разрывов и стадию развитых разрывов (х
" .
Ответ. При XТХр
W(u>tc)=- *•
и при иг
1/2 AV , lu\<AV,
о ,
W(U,x) =
где AV-OTCo/eOOX.
5.19. Используя предельное решение уравнения Бюргерса при бесконечно
малой вязкости (задача ЗЛО), показать, что стационарный непрерывный на
входе шум превращается на достаточно больших расстояниях в
последовательность пилообр>аэных импульсов с одинаковым наклоном. Найти
скорюсть отдельного разрыва.
Решение. Пусть входной шум имеет дисперсию 6*^ - ^U0C?^> и
характеризуется масштабом Х0 . Тогда характерная кривизна функции ?S0(.TO
* входящей в решение 3.10(5,6) равна
$Se(*c)/v^S /'t * Кривизна параболы 6L в этом же решении
равна i/x . При парабола cL^^x)-плавная
функция "t в масштабе . Поэтому точки касания ^30(?)
и d. близки к некоторым максимумам §"S0C^) (см. рис.
17). Поле U,(x/t) полностью определяется системой критических парабол -
парабол, имеющих двойные точки касания с функцией §>?о00 • При этом
координаты центров критических парабол определяют положение разрывов Е* ,
и точки пересечения критических парабол (совпадающие с некоторыми
максимумами определяют нули поля UCac/t). Действительно,в интервалах
между разрывами парабола cL касается s
функции s>s.ct> практически в одной и той же точке , а это и означает,
что поле U. Cx/t) в интервалах между разрывами имеет универсальную
структур/
K+i
(I)
Положение разрыва определяется из условия двойного касания ^ и eSo и да
координаты разрыва имеем выражение
г *
Причем "скорость" движения разрыва постоянна
(2)
v"- d*
? - -
S0 (х*) ~ Sо (Ч.vc-i)
7. vc" 'Ik- i
(3)
Рис.17
74
Таким образом, профиль поля иС^/О на этой стадии представляет
совокупность наклонных линий с одинаковыми наклонами - 1/^сс , выходящих
из ''нулей" ^ к . Эти линии соединены вертикальными линиями - разрывами,
имеющими координаты 'f; < . Расстояние между отдельными соседними
разрывами Д S к может
как возрастать, так и уменьшаться. Если уменьшается, то разрывы сливаются
и превращаются в один с амплитудой, равной сумме амплитуд слившихся
разрывов.
5.20. Предполагая, что случайное поле характеризу-
