Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гурбатов С.Н. -> "Нелинейная акустика в задачах" -> 11

Нелинейная акустика в задачах - Гурбатов С.Н.

Гурбатов С.Н., Руденко О.В. Нелинейная акустика в задачах — М.: МГУ, 1990. — 80 c.
ISBN 5-211-02328-5
Скачать (прямая ссылка): nelineynayaakustikavzadachah1990.pdf
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 19 >> Следующая

ЗД-JiUO Ai'
(5)
цепочка преобразований (5)-*>(4)-*-(2) дает общее решение уравнения
Бюргерса - выражает поле IX ) в произвольном сечении X через исходное
поле 1Л0 (ПГ) . Приведем еще одну форду записи общего решения. Пользуясь
(2), из (4), (5) имеем
(6)
(7)
3.7. На основе общего решения уравнения Бюргерса, полученного в
предыдущей задаче, рассмотреть эволюцию гармонического исходного сигнала
u0(l)=a'$tficot Исследовать его асимптотическое поведение при
Ответ. Используя разложение [l€]
00
exlpfr COS0) = 1о(г) +2^1 Joyces 40,
- Л. s* 1
(I)
XIV ** ^
^ - модифицированные функции Бесселя, из (2), (4), (5) получим л
оа I (Re)eccp^tiw=c) Sm яиз?
U.^'c)"-•'sc --------------------------
1о(ц+
*=i
Здесь комбинация параметров О.§/2,(0$ имеет смысл акустическо го числа
Рейнольдса 3.2(5). При 5(02x^d экспоненты в (2)
43
сильно уменьшаются с ростом гь и остается только первая гармоника
При малых и больших числах Рейнольдса, пользуясь асимптотиками функций
Бесселя, получим гармонику, затухающую по законам линейной акустики
В последнем случае амплитуда гармоники не зависит от своего исходного
значения
3.8. Пользуясь общим решением уравнения Бюргерса, рассмотреть эволюцию
однополярного импульса, аппроксимируя его не входе S - функцией: UC(V) *
Д-S(V) * Ввести для дан-
И?-/уг&- При 1 результат (I) совпадает с линейным
решением 3.1 (6). При из (I) следует, что импульс
имеет универсальную треугольную форму
ной задачи число Рейнольдса; обсудить предельные случаи Tte4:l и 'Re'"!.
Ответ. Решение имеет вид
(2)
где T=N 2Д^Х - длительность импульса. Для вывода формулы (2) нужно
использовать асимптотику функции при V**oo
3.9. Пусть - некоторое известное решение урав-
нения Бюргерса, отвечающее условию на границе Г\(Ьс*01-1')=По(^.
Исследовать взаимодействие этой волны с ''линейным профилем" течения (см.
1.9) на основе общего представления решения уравнения Бюргерса (см. 3.6)
для граничного условия
U. = ij-k +П0(?). ^
Проанализировать случаи ^ > 0 и О .
Ответ. Нелинейное взаимодействие с "линейным профилем" приводит к
изменению характерных амплитуды и частоты, а также темпов эволюции волны
П (х/О . Решение имеет вид
И** i-ft* '
При t>§ > характерные амплитуда и частота волны
неограниченно возрастают.
ЗЛО. Используя метод перевала, найти асимптотическое решение уравнения
Бюргерса 3.2(2) при больших числах Рейнольдса . Дать графическую
интерпретацию этого реше-
ния.
Решение. В выражение для общего решения 3.6(6) уравнения Бюргерса входят
интегралы вида
оо
(1)
При основной вклад в интеграл будут давать окрестности
тех точек, где функция F имеет максимум. Пусть "t*- одна из таких точек;
она находится из уравнения
л "
В окрестности этой точки функцию ^ можно разложить в ряд, ограничившись
квадратичными членами
FfcA,*) * F* + ?к'- , о,
где F^"F(cAac"*) > fv='Xl - .Тогда ин-
теграл (I) представляется как сумма вкладов в точках перевала
1-ХЛ
V
kxji Qr^f
г%
(4)
k If;
При'S->О в этой сумме будет превалировать слагаемое, соответствующее
абсолютному максимуму функции F . При этом из общего решения 3.6(6)
следует асимптотический результат
где t (рс/С) - координата абсолютного максимума функции
Процедура отыскания абсолютного максимума допускает наглядную графическую
интерпретацию. Очевидно, что координата
есть первая точка касания функции F подвижной прямой Ь,, опускающейся из
бесконечности параллельно оси абсцисс "L . Более удобно, однако,
действовать по-другому, а именно, рассматривать первую точку касания
функции &Se(-t) и параболы . 2.
+ , (7)
46
опускающейся сверху (при уменьшении К/ ) на функцию & ?>0 (см.рис.12).
3.II. Используя полученное в предыдущей задаче асимптотическое решение
уравнения Бюргерса, проанализировать эволюцию однополярного импульса,
аппроксимируя его на входе % -функцией u.o0t')"
Решение. Для функции Ф S0("F) , определяемой формулой 3.10(6), имеем
'0^ " гДе @00 " функция Хевисай-
да-единичного скачка. Графическая процедура отыскания координаты
абсолютного максимума в данном случае иллюстрирована на рис.13.
Зафиксируем расстояние X , т.е. ширину параболы
3.10(7). Если *?>() " то очевидно, что парабола коснется
ступеньки своим центром , т.е.-^^ОС/С)"^ " при
этом, согласно 3.10(5), поле U(3CfC) а, 0 Для всех ^>0.
При 0 существует одна критическая парабола еС* , кото-
рая одновременно касается *So0t) в двух точках: и-fcr-T.
Очевидно, что для такого касания К.-=0 , а положение еб*. определяется из
системы уравнений ^
See. ^
Отсюда следует, что координата -вершины этой критической параболы равна
-т- (г^Ц,г
Если теперь*положить ~Т4.^ <? 0 , нетрудно заметить, что
парабола 2 на рис. 13 коснется ^ Q> о(?) в точке "t*.(r)10 . Из 3.10(5) при
этом находим U.- -rt'/ ^^ • Наконец, полагая , т.е. перемещая центр
подвижной параболы 3 левее
центра критической параболы eL* , снова получим } Us 0.
Суммируя сказанное, видим, что асимптотический профиль при больших числах
Рейнольдса имеет треугольную форму
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 19 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed