Нелинейная акустика в задачах - Гурбатов С.Н.
ISBN 5-211-02328-5
Скачать (прямая ссылка):
а(ас;с)"0 (и-Т.-оО), \L-У$" (-Т<л*0).<2)
Длительность импульса Т(зс), определяемая формулой (IH и пиковое значение
возмущения равны
Т(*>(2$А^ f u"(*)-u(*>-4)=(гА/^1/го)
(см.также 3.8). Очевидно, площадь импульса иМ1с*Яс*>/а =
= Д sconst.
3.12. Используя графическую процедуру 3.10, исследовать процесс
взаимодействия двух однополярных импульсов
(D
при больших значениях чисел Рейнольдса. Найти асимптотическую форму
волны, образующуюся в результате слияния импульсов.
Отзет. Критические параболы оL (см.предыдущую задачу)
и соответствующие профили импульсов приведены на рис. 14,а,б,в.
Напоминаем: с увеличением пройденного расстояния X параболы уширяются.
Координаты разрывов легко находятся из условия двойного касания параболой
ciL функции $S0tt) (рис.14, а, б). Расстояние X , на котором происходит
слияние разрывов,
48
S)
оцределяется из условия тройного касания db и (рис.14, в).
Асимптотическая форма волны - одиночный треугольный импульс 3.11(2) с
длительностью Т*
3.13. В условиях предыдущей задачи рассмотреть взаимодействие двух 8> -
импульсов различной полярности. Отдельно разобрать случай 1АП-1М.
3.14. Усовершенствовать решение 2.14(1) для одного периода пилообразной
волны, приняв во внимание, что в диссипативной среде для больших чисел
Рейнольдса ударный фронт имеет малую, но конечную ширину и описывается
выражением 3.4(1).
Решение. Нужно заменить ступенчатую функцию на eipUp(x)T/2S] . В
аргументе гиперболического тангенса необходимо учесть, что разрыв
уменьшается по величине вследствие нелинейного затухания как
ир(гУи0=ог/С1+г5 (см.2.13); соответственно увеличивается ширина фронта.
Таким образом, формула 2.14(1) примет вид
-Х^йЛ^ОГ, Ил:"!.
Подставляя выражение (I) в уравнение Бюргерса 3.2(2), видим, что оно есть
точное решение этого уравнения (решение Хохлова).
3.15. Разложить решение Хохлова в ряд Фурье, рассчитать амплитуды
гармоник и проанализировать их поведение на больших расстояниях.
Ответ. Разложение в ряд (решение Фея) имеет вид
-^ • sV (мот). (D
Оно хорошо описывает спектр гармонической (на входе 0 )
волны для больших в той области, где фронт стабилизирует-
ся, т.в. нелинейное укручение и диссипативное сглаживание профиля
уравновешивают друг друга. Амплитуда гармоник при(?оо/ц в решении Фея
уменьшается примерно по закону медленнее, чем по линейной теории eoc|p(-
n.2?(joe,x')) ; это связано с подкачкой энергии от низших гармоник к
высшим. На расстояниях или §СОгх^>2, в решении Фея
главным становится первый член ряда (I), и волна принимает вид
4 Sq
U* --Q - Sin."ft = U
*
Формула (2) совпадает с 3.7(1) и описывает эффект "насыщения": как сильно
ни увеличивать амплитуду 1Л0 на входе в нелинейную среду, на расстояния
свыше двух длин линейного затухания
невозможно передать волну с амплитудой, боль-
шей
и(tm)*- - e = exip(- . (3)
*
? Co\o
3.16. В условиях задач: a) 2.7, б) 2.8 оценить диссипативную длину
fX^=i/^C02=s2CpOe/Eoi2 и найти максимальную
50
интенсивность волны, которая может быть передана на расстояние
2. ^ . Принять для воды S =0лб- 10"47cVcm
2твет. а>",*Цгм>
Ът/СМ .
§ 4. Сферические и цилиндрические волны Нелинейные пучки
4.1. Рассмотреть сходящиеся сферически-симметричные волны в линейном
приближении. Исходная форма возмущения U.0(-t') задана на сферической
поверхности радиуса (где ^ -
характерная длина волны). Пользуясь методом медленно изменяющегося
профиля (1.5), упростить линейное волновое уравнение
All ^ ^ ^ П A \ I ^ ^
Аа~5|^г-0> ди=^г + ^^- <"
Решение. Переходя к сопровождающей системе координат X = = +(Z~Zi^)/c0
j (UT. и пренебрегая малыми членами rv <цг
получим р
Т* +1.^ + 4^U=Q (2)
'ЪхЪг х¦ ъг г Ъг iZ)
Отношение третьего члена к первому в уравнении (2) есть величина порядка
С0 Лч . Следовательно, третий член мал
всюду, за исключением малой окрестности фокуса Т = Q размером порядка
длины волны % . Отбрасывая третий член в (2),
придем вместо (I) к упрощенному уравнению
^ + .1 = о
Ъг г и- о)
Его решение в виде сходящейся волны ( X уменьшается от Т0 до 0):
(4)
неограниченно растет по мере приближения к фокусу Х = 0 .
51
4.2. Получить аналог уравнения Бюргерса 3.2(2) для сходящихся сферически-
симметричных волн, обобщая упрощенное уравнение 4.1(3) по аналогии с
задачей 3.2. Считать, что нелинейные и диссипативные эффекты медленно
искажают профиль волны.
Ответ.
^ U - о
- + - - (Ь U. -- -V- о --------0 - 0. г т \
Ът г >
Здесь, как и в задаче 3.2, ^=j?/c|} $аД/2.Св<^0.
4.3. Преобразовать уравнение Бюргерса 4.2(1) для сферически-симметричных
волн с помощью замены переменных
U=--- , Q-wt, ]?-4wu.vUb. .
40To z t (I)
Сравнив с 3.2(4), указать, какой смысл имеет полученное уравнение.
Ответ.
(2)
Здесь Г-W^u. - обратное число Рейнольдса (см.3.2(5))} иото - безразмерный
исходный радиус фронта волны. Видно, что использование уравнения (2)
сводит задачу о распространении сферических возмущений к задаче о плоских
волнах в эквивалентной среде, диссипативные характеристики которой
