Нелинейная акустика в задачах - Гурбатов С.Н.
ISBN 5-211-02328-5
Скачать (прямая ссылка):
Решение. В предположении медленности изменения профиля волны и формы
пучка 4.9(3) получим
'dtV'dtC
Это уравнение Хохлова-Заболотской. Если пренебречь зависимостью от
поперечных координат переходит в уравне-
ние простых волн 1.5(3). Если пренебречь нелинейностью (€."О),'
(2) переходит в уравнение 4.9(4) линейной теории дифракции. Таким
образом, уравнение (2) описывает волну при одновременном учете нелинейных
и дифракционных эффектов.
Более строгий вывод (2) из уравнений гидродинамики приведен в книгах [5,
7^
4.11. Действуя по аналогии с задачей 3.2, получить выражение для
безразмерного комплекса параметров - числа N ,
56
позволяющего оценить относительный вклад нелинейных и дифракционных
эффектов в искажении волны.
Решение. Пусть на входе *X=0 сигнал описывается функцией
^ и. (х=о, t) = и | (г/а) -ф (о> t). ш
Здесь - координаты в поперечном сечении пучка,
01 - характерная ширина пучка; U0 , СО - характерные амплитуда и частота.
Имея в виду (I), перейдем к безразмерным переменным вида 3.2(3)
, 0-cot, U = | • (2>
Уравнение 4.10(2) сведется к форме
Г^_ 1 - ^ ^ \г
'Ш'дг ^ Ъ(r) ] 4
Здесь - оператор Лапласа по нормированным координатам
ТА . Единственный комплекс параметров, входящий в уравнение
(3), это число 0 ъ .
N = -J-Ш <4,
&соаа?и.0 2зтгеМ\а/)-
Можно записать N как отношение нелинейной и дифракционной даин:
м_'5с|>_ св atL&
?озав ' Цсв- ")
Отсюда ясно, что при преобладает нелинейность, а при
- дифракция.
4.12. Рассчитать в линейном приближении изменение характеристик круглого
гауссова пучка гармонических волн
и.(х=0,г.Д) = а0ех|р(-та/а-г)' siawi (1)
вследствие дифракции.
Решение. Для пучков с круглым поперечным сечением уравнение 4.9(4) примет
вид
57
^UL _ C0 f t 1 \ ^
Ъъ2° ( ^тг ' ' x 'Зъ
Решение (2) с граничным условием (I) можно получить методов разделения
переменных или методом интегральных преобразований. Можно также проверить
непосредственной подстановкой, что решение (2) имеет вид [б]
а + i/atf '^ Ь 1 + а*/хА") ' ,3,
+ агс4д^ -Ъ - -Л ,
г, А L
здесь >хд=соа/2с0 - характерная дифракционная длина. Решение (3)
описывает превращение исходной плоской волны в сферически расходящуюся.
Амплитуда на оси пучка уменьшается по закону
Umax = U° 0- + (4>
При амплитуда убывает как UmaQ^Uпо закону
сферически расходящейся волны. Ширина пучка растет:
а.(ф=а. (д + -ха/ад')1/г (5)
При 'Х'^'Хд ClCx) ИгЛ'Эс/'ЭСд- ширина увеличивается с ростом 'Х
линейно, и все излучение локализуется в конусе с углом при вершине
Д0 ^2л/0Сд=4со40С1- Заметим
также, что фаза волны на оси пучка приобретает фазовый сдвиг М-С^О/ЗСд-)
. Это означает, что скорость распространения волны на оси пучка несколько
выше, чем плоской волны той же частоты.
При увеличении частоты СО исходного сигнала (I) процесс дифракции
ослабевает и все отмеченные явления проявляются на больших расстояниях.
4.13. Пользуясь решением (3) предыдущей задачи, показать, что
широкополосный сигнал (импульс) изменяет свою форму в даль-
58
ней зоне (рс^ОСд') . Дифракция приводит к дифференцированию формы профиля
на оси пучка.
Решение. Каждая из гармоник исходного сигнала описывается выражением (3),
которое при , Т=0 принимает вид
а & u.0(oS)Ъ .sin(cofc+|)> ^ U.Ccoycos afC.d)
Форма сигнала определяется суммой всех гармоник (I)
2 ** 2. °°
U.=^- \ са ¦ cosuft ¦ А(й =-i_ JtA u Ц&лоЛ- ioj.
24*.i Zcp-bX^J (2)
Последний интеграл есть исходная форма импульса:
^ аа(со> m oft • dco = а (х=o/t). <з>
-со
Сравнивая (3) и (2), находим
(4,
- сигнал в дальней зоне дифференцируется.
4.14. Показать, что области сжатия и разрежения нелинейной дифрагирующей
волны искажены неодинаково и профиль исходного гармонического сигнала при
распространении становится несимметричным. Воспользоваться тем фактом,
что разные гармоники из-за дифракции оказываются сдвинутыми по фазе друг
относительно друга Решение. Для качественного ответа на вопрос представим
профиль волны приближенно как сумму только первой и второй гармоник
u=Aj(xy sL(i[cot+H>lC'ii)]+ кр)-+ %(*)].
Очевидно, что вторая гармоника, рождающаяся в среде, имеет амплитуду ,
малую по сравнению с . Поскольку частота гармоники более высокая,
дифракционный фазовый сдвиг для нее
меньше, чем (см. 4.12). С учетом этих фактов графическое
сложение двух синусоид (I) действительно дает несимметричный
59
профиль (рисЛ5). Видно, что область сжатия укорочена по длительности и
заострена, область разрежения - растянута и сглажена. Гармоники
интерферируют так, что положительное пиковое значение возмущения
превышает свое исходное (при = О ) значение.
Рис. 15
4.15. Пользуясь модельным уравнением 4.10(1) и методом последовательных
приближений, рассчитать амплитуду волны разностной частоты - COj- (О g ,
возбуждаемой в нелинейной сре де при взаимодействии двух затухающих
недифрагирующих высокочастотных волн с близкими частотами 00 ^ , С0? :
"+|\в ° +к.с. (и
Здесь - характерная длина затухания волн 00 ^ , 00 ^
:
функция описывает поперечную структуру пучка этих волн.
