Нелинейная акустика в задачах - Гурбатов С.Н.
ISBN 5-211-02328-5
Скачать (прямая ссылка):
экспоненциально убывают с увеличением пройденного расстояния (с ростом ^
от 0 до оо ).
4.4. Получить аналог уравнения Бюргерса для сходящихся цилиндрически-
симметричных волн. Действовать по аналогии с задачами 4.1, 4.2.
Ответ, ц п
Обозначения здесь такие же, как в 4.2(1).
52
4.5. Преобразовать уравнение 4.4(1) с помощью замены переменных
и-ух,е-<л,
Указать смысл полученного уравнения (так, как это сделано в 4.3).
Ответ. _ Q
+гА-1-\М .
(2)
^0 ^ 2iJ
Видим, что уравнение (2) эквивалентно уравнению Бюргерса для плоских волн
в среде, диссипативные характеристики которой убывают по линейному закону
при изменении Т от Т# до О (при этом )| возрастает от 0 до 2*?0 " где
=<?>(OU0?0' безразмерный исходный радиус фронта). ^
4.6. Найти расстояние, которое необходимо пройти исходной гармонической
сферически-симметричной волне в среде без диссипации, чтобы в ее профиле
образовались разрывы. Рассмотреть а) сходящиеся и б) расходящиеся волны.
Решение. Поскольку при г-о уравнение 4.3(3) совпадает с обычным
уравнением простых волн, координату образования разрыва Т р в исходной
гармонической волне нужно находить из условия ^ = (см.2.4). Здесь
случай соответствует расходящейся волне, а
волне^сходящейся к фокусу Т=0 . Расстояние р-*Т0\ "
которое должна пройти волна, чтобы стать разрывной, равно
¦> (r)
Видно, что для сходящихся волн (1) выполняется неравенство
^toUe^"4 " т.е. разрыв образуется на меньших рас-
стояниях, чем в плоской волне. Напротив, из формулы (2) следует |tp-
I0l>(^wuoyl , т.е. для образования разрыва расходящейся волне нужно
пройти большее расстояние. Изменение темпов накопления нелинейных
искажений связано с тем, что в сходящихся сферических волнах амплитуда
возрастает при уменьшении х (от Т0 до 0 ), а в расходящихся -
убывает (когда Z увели-
чивается от х 0 до оо ).
4.7. Определить, всегда ли может образоваться разрыв в сходящейся
первоначально гармонической волне, распространяющейся в среде без
диссипации.
Решение. В цилиндрической сходящейся волне условие образования разрыва,
согласно 4.5(1), имеет вид
!*2$feueT0(i.-4'tAo') =1. <1)
Поскольку <Т.0 , максимальное значение ^ достигается при 41 - 0 и равно
2^СОио4.0 . Если параметры
на излучающей цилиндрической поверхности выбраны так, что euu"vi/i2,
условие (I) не может быть реализовано ни при каких ^ и разрыв при
схождении к фокусу 41=0 не образуется.
Для сферической волны условие (I) имеет вид (см. 4.2(2)):
$ии0Т0Ц^)=1.
4 т
Здесь ситуация обратная: какой бы малой ни была комбинация параметров
^>С0U.0TQ на излучающей поверхности, найдется столь малое *Т* вблизи
фокуса Z. = О , где разрыв все же образуется.
4.8. Обобщить решение Хохлова 3.14(1) на сферические волны и
проанализировать процесс формирования ударного фронта в сходящейся волне
с учетом влияния диссипации.
Решение. Используя обозначения задачи 4.5 и сопоставляя обычное 3.2(4) и
"сферическое" 4.3(2) уравнения Бюргерса, придем к выражению для профиля
одного периода сферической сходящейся волны: ^
Ширина ударного фронта определяется из аргумента гиперболического
тангенса:
* 8,-f V м
Как следует из анализа выражения (2), при ?WUeTe>i функция Д (c)ф (тО имеет
максимум. Это означает, что при *?0>1. наблюдается явление двукратного
формирования ударного фронта. Вначале узкий фронт начинает расширяться
из-за диссипации. Его ширина достигает максимального значения
(2Г/оОх0езср(1/ггО в точке •z-t0e*p(i/*o-0 . Затем вновь усиливается
дейст-
вие нелинейности и ширина фронта стремится к нулю при схождении волны к
фокусу [ю] .
4.9. Пользуясь квазиоптическим приближением теории дифракции и методом
медленно изменяющегося профиля 1.5, вывести упрощенное уравнение для
волновых пучков в линейном приближении.
Решение. Исходим из линейного волнового уравнения, записанного в
декартовых координатах
tfu. tfu ^au i Q>su _Л
^г+^ (I)
Пусть волна распространяется вдоль оси пучка ЗС. . В квазиоп-тическом
приближении обычно рассматривают гармонический сигнал. При этом полагают,
что амплитуда волны изменяется медленно как вдоль оси СС , так и поперек
пучка
(~*Г4"~*РО
U=exjp(-iwt+Lwa;/ce> А(*4=г*} г=^г).(2)
Если рассматриваются широкополосные сигналы или распространение в
нелинейной среде, где спектр сигнала обогащается гармониками, то волну
нельзя считать гармонической. Нужно предположить, что ее профиль и спектр
медленно изменяются при распространении. Формулу (2) следует обобщить:
Подставляем (3) в (I). Члены порядка взаимно уничтожаются, а членамимы
пренебрегаем. В результате все сохраненные члены имеют один и тот же
порядок малости ^ . Эти члены об-
разуют упрощенное уравнение
^l_=?o. м д =i_+^L <4) ЪъЪъ а 'Ъч*
Для гармонических сигналов W.- fv 6'Xjp(-i-Wrt} из (4) следует известное
параболическое уравнение теории дифракции
-21к^=дА W
4.10. Используя метод предыдущей задачи, вывести упрощенное уравнение
Хохлова-Заболотской из нелинейного волнового 3 уравнения ^ ^ _ ?
^Ц8
С? -U* -с" • (I)
