Нелинейная акустика в задачах - Гурбатов С.Н.
ISBN 5-211-02328-5
Скачать (прямая ссылка):
Окрестность точки профиля, где достигается максимум производной ,
"опрокинется" первой.
2.3. Найти расстояние, на котором образуется разрыв в простой волне,
заданной на входе в нелинейную среду в виде однополярного импульса
U.(x=Q,t) = 1Лоехр(-^г/-^)-
Решение. I-й способу Записываем решение уравнения простых волн для
данного однополярного импульса как явную функцию ^ =
. Т<х,и.): 'С = Ч"4?Л(и0/ц.У - 6.UX/C* .
Здесь перед корнем взят знак "минус", поскольку разрыв образуется всегда
на переднем фронте (в данном случае при *t: ).
25
Требуем выполнения условий 2.1(4)
Э'С. to [ри uj-1/г ?
ТО-гц-^йГ] "сJ*"0* ш
ЪИ* 21Хг L UL1
Из (2) находим точку профиля, в которой образуется разрыв: Ц = = U0 /{? ¦
Подставляя это значение в (I), определяем расстоя-ние
•Xp=Ae/2(c|t<,/?U0').
26
2-й способу Следуя схеме, описанной в 2.2, вычислим производную от формы
исходного возмущения
Ф СО-и, ехр(^- ^ • о)
Максимум функции (3) достигается при ctQ и равен
. Из формулы 2.2(4) при этом значении сразу получаем результат для ОСр ,
совпадающий с выражением, полученным первым способом.
2.4. Найти координату образования разрывов в гармонической исходной волне
U(?C*0,i)=i UQ* S'Ufl СО^ . Определить в каких точках профиля образуются
разрывы.
Ответ. Разрывы образуются в точках ОСГС* 2згл(п.-0,±1*24..'!) на
расстоянии чСр = с|/?СОЦ0 .
2.5. Найти координату образования разрыва в ступенеобразном возмущении
U('x=0,-l) = U0.-tK,CVi"') . В какой точке профиля образуется разрыв?
Ответ. Разрыв образуется при ^ = О на расстоянии
=40e7eue.
2.6. Возмущение на входе представляет суперпозицию гармонических
колебаний с несоизмеримыми частотами
= Uj;Softool + иг- S\YiGOa-t . Определить на каком расстоянии от входа
образуется первый разрыв.
Ответ. зср в +
2.7. На каком расстоянии от излучателя мощного ультразвука в воде
образуется разрыв, если интенсивность волны X -
=10 %т/сиа, частота ? Параметры воды: 00* ir/CH* .
Ce*i,5-10ScM/c. ?=*А
Ответ. Используя результат 2.4, получим оценку
27
ос. = Г
2.8. Какой должна быть интенсивность волны в воде на частоте = 200 кЛц,
чтобы разрыв образовался на расстоянии Юм? s , л -g -
Ответ. 1 - 0,5 с0<^- (_2зг е jf 1р) % 0,15 5т д.*2.
2.9. Оценить амплитуды колебательной скорости, смещения, ускорения и
значение числа Маха в двух предыдущих задачах.
Ответ. Для задачи 2.7 U0= (2I/fc0^o)1^2 36 см/с,
|=ц0/со"6 Ю см, ао=0)ио%2*106см/сг, M-uo/co#2,4-i0*
Для задачи2.S Ue"A,Sftм/с, 'g язИО'ем, aQ? 5• №Ьс.м/с, M"3*l6*
Видно, что даже в мощных ультразвуковых полях смещения частиц очень малы
(порядка молекулярных масштабов), зато достигаются огромные ускорения (до
10 g , где g - ускорение свободного падения). Числа Маха малы, и этот
факт уже использован для упрощения нелинейных уравнений в 1.2 и 1.5.
2.10. Выразить длицу образования разрыва плоской монохроматической волны
в воздухе через уровень звукового давления N и частоту |[ .
Определить число Маха и
длину образования разрыва для N=140 ДБ (двигатель тяжелого
реактивного самолета) и ^ = ЗЬОО Ги, .
Решение. В атмосферной акустике принято характеризовать интенсивность
звука уровнем среднеквадратичного давления N (дБ) относительно *>#=2-10"5
Па . Для пикового значения давления Jjp' при этом имеем 10N/2° .
Длина образо-
вания разрыва плоской монохроматической волны определяется соотношением
1.6(3), где M=U0/C0 , U0- пиковое значение
колебательной скорости. Учитывая, что 4 -*fv> , где р0-плотность воздуха,
- атмосферное давление для числа Маха имеем МИр/с^=!р'/?ро .
Следовательно,
28
2.II. Исходя из закона сохранения количества движения, переносимого
простой волной, предложить простое геометрическое построение, устраняющее
неоднозначность формы профиля с "перехлестом" (рис.5 ), образующимся на
расстояниях 'X>OCj).
Решение. Убедимся в том, что количество движения в простой волне,
занимающей ограниченную область пространства ( U-^ О при ) не
зависит от для 'ЭС^'ЭСр*. _
О(c)
"(r)° -во ° -во "°°
Геометрический смысл закона сохранения - постоянство площади между кривой
, описывающей профиль волны, и осью *t* .
После образования "перехлеста эта площадь также
должна сохраняться, поскольку область среды, занятая волновым движением,
остается замкнутой (на нее не действуют внешние силы). Следовательно, в
неоднозначном профиле волны разрыв следует проводить так, чтобы
отсекаемые площади и 3>{> (см.
рис.5 ) были равны. Действительно, площадь "добавляется" к профилю, а
площадь "отторгается" от него, и при
условии х^^За площадь под полученной кривой оказывается равной исходному
значению
и
Рис. 5
Г
29
2.12. Показать, что ударная волна сжатия - скачок между двумя постоянными
значениями Ut и (причем U^>U.i ) -устойчива, т.е. не изменяет своей формы
при распространении.
Решение. Пусть для простоты Ц^*0 , 1Лг> 0 • (r) ис-
ходной (при Xе О ) волне разрыв занимает в сопровождающей системе
координат положение ^*0* На расстоянии РХ>0 искаженный профиль строится
графическим методом, описанным в задаче I.10. Очевидно, что профиль
