Нелинейная акустика в задачах - Гурбатов С.Н.
ISBN 5-211-02328-5
Скачать (прямая ссылка):
дены на рис.З. Используя первые члены разложения функций
Бесселя в ряд:
получим
*V>i. (4)
Более точные степенные аппроксимации и таблицы численных значений
амплитуд гармоник приведены в книге [и].
1.14" Рассчитать изменение с расстоянием амплитуды волны разност-7L ной
частоты при
задании на входе х = 0 бигармонического сигнала u/u0=
* S'lYl + S'Uft Юг\ , считая U)i= ( ^ + I) . Сйг*Ц(|)"
где N>1 - натуральное число.
Решение. Поскольку разностная частота равна нас интересует только
коэффициент (^(*2.) в 1.12(3). Используя соотношение 1.13(2), для
бигармонического сигнала получим
izsiA(N+i)?+asmHI ~
е -L№ }J№
k*=-o(r) ПГ\я-во
Подставляя-это выражение в 1.12(3), видим, что интеграл отличен от нуля
лишь при fc(N + D +mN* I. Это возможно только для значений V = I, Wl=-I,
поэтому находим
С^ЗКгУг, А,= 0, 23?ООД.
(3)
1.15. В условиях предыдущей задачи для N"i определить амплитуду волны
разностной частоты на расстоянии, равном длине образования разрывах "'Ip
. Сравнить с результатом метода последовательных приближений (см. 1.6) и
определить, как зависит эта амплитуда от отношения частот ^ и .
Ответ.
Xptei/SN, Ъ4"х?/2 "со/Дон .
1.16. Рассчитать поведение амплитуд низкочастотных гармоник, рождающихся
в нелинейной среде в результате самодетекти-рования исходного амллитудно-
модулированного сигнала
=({- mCOSOoi^ SvVlNovt, где - натуральное число, т, -
коэффициент глубины модуляции.
Ответ. По аналогии с I.14 получим результат в виде рядов, содержащих
произведения функций Бесселя. Главные члены этих рядов имеют вид
При малых "X. получаем выражения, соответствующие решению задачи методом
последовательных приближений
I.17. Рассмотреть взаимодействие мощного низкочастотного возмущения со
слабым высокочастотным сигналом и(одУ и. =
, натуральное число ). Как
изменяется в пространстве амплитуда слабого сигнала?
Решение. Из формулы 1.12(3) с учетом малости Щп, полу-
Отсюда ^ N = W* JQО^')* Решение (I) справедливо
при , в области до образования разрыва. Поскольку,
аргумент функции Бесселя в (I) может быть большой величиной; при этом
амплитуда слабого сигнала будет осциллировать в пространстве, постепенно
затухая. Этот эффект нелинейного подавления высокочастотного сигнала при
наложении интенсивного низкочастотного возмущения (например, шума)
представляет интерес для ряда приложений.
18
1.18. Пользуясь методом последовательных приближений, проанализировать
вырожденное параметрическое взаимодействие в простых волнах. Для
исходного возмущения U./U0 = S\.TV.2(jO& +
+ W. , №4*1 " определить, при каком сдвиге
фаз слабый сигнал усиливается, а при каком Ц он подавляется.
Решение. Важный для практики нелинейный эффект - параметрическое усиление
слабых сигналов в поле интенсивной волны накачки. Если частота накачки
2(0 , а сигнала k) , процесс называется вырожденным; он чувствителен к
сдвигу фазы Ч* между этими двумя волнами. В задаче 1.6 выписаны уравнения
(I) первого и второго приближения. Напоминаем: и" - это исходное
возмущение, в котором вместо 1. стоит *?" ^-эс/Со ; это решение второго
приближения, которое нужно найти. Сохраняя в правой части уравнения для
иФ фурье-компоненту на часто-ire сигнала СО , найдем
- =- - га со и о sin/cal-MY
Ъъ. 2с| ^ J
Решение на частоте сигнала
1 +исгЛ = m. s.v'Tt (Ш+40 - f г (wt - .
Отсюда видим, что амплитуда сигнала при I ведет себя так:
2\СпЩ = m. + "л?(1+'
Если сдвиг фаз ^ изменяется от 0 до СГ , то усиление происходит в области
Зг/Д Ъж/k , причем наиболее эффективно сигнал усиливается при =ЗГ/2 . В
областях 0^4 "иА*
сигнал подавляется, наиболее эффективно - при V* = 0 иЦ>-Т. Полезно
решить эту задачу другим способом, используя не метод последовательных
приближений, а точное спектральное представление 1.12(3) решения
уравнения простых волн (по аналогии с I.14, I.I7).
1.19. Найти фурье-образ простой волны
С(?,Ц=2М a(","e>ea:p(-wt>dT, ^
-во ^
считая, что возмущение исчезает при ^-^±00 .
Решение. Используя общее решение 1.8(1), для фурье-образа простой волны
получим
, •? С
А<с- (2!
-"о о
Как и для аналогичной задачи I.I2 , в которой рассмотрен
периодический сигнал, здесь нужно перейти к новой переменной 4=t +
Cb/cJ>^ U . Тогда ТГ - | - 0=/c|')tC$OS')
и для (2) имеем явное выражение
-"О '
Более удобную форму записи можно получить, интегрируя (3) дважды по
частям и учитывая, что Ф(±оо) =0 •
1 Т г ^/сЪ"хФ(С)п -lU)t
~?*">
- ОО
При из формулы (4) следует
fc\Afc_rV Л.Л
(5)
"о
с (хм) "\^($) etfp (- ^1) Ц, S С0 (to)
-оо
- это фурье-образ исходного возмущения.
1.20. Исходя из решения (4) предьщущей задачи, найти универсальное
поведение фурье-образа в области низких частот. Показать, что если при
00-^0 С0({а$)<^(?л' и R.>i , то
из-за нелинейных взаимодействий между спектральными компонентами в
области низких частот ( СО-^0) формируется универсальная асимптотика
спектра.
Решение. В области низких частот экспоненту в решении можно
20
разложить в ряд. Ограничившись членами, квадратичными по СО придем к
