Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гурбатов С.Н. -> "Нелинейная акустика в задачах" -> 4

Нелинейная акустика в задачах - Гурбатов С.Н.

Гурбатов С.Н., Руденко О.В. Нелинейная акустика в задачах — М.: МГУ, 1990. — 80 c.
ISBN 5-211-02328-5
Скачать (прямая ссылка): nelineynayaakustikavzadachah1990.pdf
Предыдущая << 1 .. 2 3 < 4 > 5 6 7 8 9 10 .. 19 >> Следующая

Видно, что второй член квадратичен по функции Ф , т.е. описывает
квадратично-нелинейные эффекты. Следующие члены будут соответствовать
нелинейностям высших степеней.
1.9. Используя неявное решение 1.8(1) уравнения простых волн, рассмотреть
эволюцию "линейного профиля" - исходного возмущения
Обсудить случаи ^>0 и 1^0.
12
Решение. Подставляя (I) в общую формулу 1.8(1), найдем
+ eutxicyac/cj -t*)
и, следовательно,
и _ t" (Т
^ (2)
1 -
Таким образом, на любом расстоянии х профиль остается линейным по "
изменяется только угол его наклона к оси *? .Когда наклон положителен
(^>0)." решение справедливо на конечном интервале Х^С^/б.^, пока профиль
не станет вертикальным.
При отрицательном наклоне (?< 0) с увеличением х профиль становится все
более пологим, и при с|/?,\^\ происходит
потеря информации об исходном наклоне ^ :
^-(Co/eacX't-l*).
Выражение (2) - простейшее, но очень важное решение уравнения простых
волн. Оно может быть использовано для описания эволюции близких к
линейным участков произвольного профиля.
I.IO. Проанализировать графически процесс нелинейного искажения формы
одного периода исходного гармонического сигна-U(0 Л ) = U-S'Ufl.OO't .
Воспользоваться неявным решением 1.8(1) уравнения простых волн, переписав
его как явную функцию переменной 'С (X , U. )
<Т=ф'1(Ц)-(е/фц'эс, (D
;где Ф""^ - функция, обратная Ф .
^ Решение. При х = 0 из формулы (I) получаем ( 0 , U. )= -феи ) - эта
кривая соответствует исходному профилю волны. Кривая, соответствующая
нелинейно-искаженному профилю (ОС>0 ) получается на плоскости ( U.ft )
графическим сложением исходной кривой и прямой -(?/Cq)UX. * наклон
которой возрастает с увеличением х .
Для гармонического при х = 0 сигнала решение 1.8(1) запишется так: U \
- sm.Cw't+iyj, (2>
здесь
'Z.=(e/cJ) uu,s. ac/otp
- расстояние, измеренное в единицах длин образования разрыва 1.6(3).
Формула (I) для рассматриваемого сигнала примет вид
_ . Ц U.
GtfC=o.tcsv.yi- -г-
\Аt
(4)
Откладывая вдоль оси абсцисс "/и. , вдоль оси ординат <оТи выполняя
описанные выше построения, получим картину, изображённую на рис.1. Видно,
что с увеличением пройденного волной
расстояния передний фронт (обращённый по направлению движения) становится
более крутым, а задний - более пологим. Похожая картина наблюдается для
волн на поверхности моря при подходе их к берегу. На расстоянии z= I (х =
Хр) передний фронт становится вертикальным - образуется разрыв или
ударный фронт. При Х>1 профиль становится неоднозначным (появляется
"перехлёст"), т.е. решение в виде простой волны (2) на расстояниях х>Хр
не справедливо.
I.II. Используя сшивку решений вида 1.9(2), рассмотреть эволюцию формы
одиночного треугольного импульса длительностью 2Т. При х = О профиль
аппроксимируется кусочно-линейной функцией
U-0 ил (о<т<Т), u=2-| OVU2T).
Рассмотреть случаи Ua>0
и ue <¦ О
Провести также анализ
с использованием графической процедуры (см.I.10).
Ответ. U. = 0 (t<0, Т>2Т) ,
С0"<Т-|лх), ст-!л*<т<2т).
Решение в виде простой волны справедливо до расстояния х=Хр =
' = с2т/еие ,пока перед-
ний фронт импульса не станет вертикальным.Процесс искажения профиля для
U0*Q показан на рис.2.
I.I2. Найти спектр "простой волны в нелиней-
Рис.2 Т с I
ной среде, если на входе волна задана как ие о,т ) -ив-ФСш'с') , где Ф -
функция, периодическая по своему аргументу с периодом Т = 23Г .
Решение. Нужно вычислить коэффициенты разложения в ряд Фурье неявной
функции - решения 1.8(1) уравнения простых волн 1.5(3):
QO
^ =$(co'E+*U') =У С^ехр^ашТ). (I)
U о о /. >
р As-"о
Здесь *?= ( 6 /Cq)COU0X - безразмерное расстояние. Коэффициенты
разложения равны
C-Cx>2i^cot+zl') eap(-^wt) .
Интегрируя один раз по частям, получим г _ , -i
25-tn.O .ol$C|)
15 '
В формуле (2) мы совершили переход к переменной |?= CO'f + +ZU/U0 ,
откуда следует ОЖ = 0§D > и наш интеграл
теперь содержит явную функцию от ^ . Интегрируя второй раз
по частям, получим ответ
_ i f г ЧлФ(r) -1 -л*
\ 6 ~1|0 ^1. (5)
2агк,ч d_L Ч
"5Г
При Х-^-О " разлагая экспоненту под интегралом (3) в ряд, получим
очевидный результат линейного приближения
С.(r)- к ?ф(c)ё"4 -с" М) - ""Л
- гармоники не взаимодействуют между собой, и коэффициенты СЛ в среде
равны своим исходным значениям.
1.13" Пользуясь ответом предыдущей задачи (формула (3)), найти
зависимости амплитуд гармоник от расстояния = х/Хр при задании на входе в
нелинейную среду гармонического сигнала Ц.( 0 "*СГ ) =Uo$"Un (дУС. Найти
степенные законы роста амплитуд для
Решение. Воспользуемся математическим тождеством теории Бесселевых
функций И оо
еоср(1гсо;,Ч1)=У ik 1
Vfs-oo
С помощью тождества (I) экспоненту под интегралом 1.12(3) представим как
^
Л^Сач) eotp 0*1). (г)
в-00
Интеграл после этого легко вычисляется: к"-<ю
Определяя теперь действительные коэффициенты АЛ, В^ разложения в ряд
Фурье при CO$(nuy?) и &1п.(мо'?) :
^<<=0, № -tCc,rc:)-2 .
16
найдём известное решение Бесселя-Фубини
00
и. "
Зависимости амплитуд гармоник от расстояния TL приве-
Предыдущая << 1 .. 2 3 < 4 > 5 6 7 8 9 10 .. 19 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed