Нелинейная акустика в задачах - Гурбатов С.Н.
ISBN 5-211-02328-5
Скачать (прямая ссылка):
деформироваться по мере распространения - с увеличением расстояния х ,
пройденного волной в нелинейной среде. Когда нелинейность слабая, профиль
волны должен изменяться медленно, т.е. наряду с "быстрой" зависимостью
функции Ф от - x/cQ должна появиться "мед-
ленная" зависимость Ф от координаты х :
(D
Здесь - малый параметр задачи, отвечающий малости нелиней-
ных членов в уравнении 1.2(2) по сравнению с линейными членами: А, /.
ои
<1.
Тот факт, что I'af/fccki , уже был использован при переходе от уравнения
Ирншоу 1.1(3) к упрощенному уравнению 1.2(2). Если предположить, в
частности, что смещение изменяется по гармоническому закону - х/с0
), условие малости
примет вид .
^ОС+^Дсо/Со -(*"¦!) 2зг А/Д < {.
Это значит, что амплитуда смещения частиц среды А должна быть малой по
сравнению с длиной волны % . Можно сказать иначе: отношение 1А^/с0
амплитуды колебательной скорости
U0 к ско-
рости звука cQ (акустическое число Маха) должно быть малой величиной.
Таким образом, малый параметр задачи - это акустическое число Маха . М=
U0/°o •
Перейдён в уравнении 1.2(2) от х и "Ь к новый перемен-ным х. и ^ согласно
предположению (I). Вычисляем производные:
'Ъ'Х2 С* ЪЪ1 с0 rBocl^flr J ''Ъх2 Vfc'
Подставляя (2) в уравнение 1.2(2) и пренебрегая всеми членами порядка J*4
и более высоких порядков малости (нужно так-
же учесть, что правая часть уравнения мала по сравнению с левой), получим
= J_ , (з)
'ЪЪ С* ^
здесь - колебательная скорость
частиц среды, а 6= U+i )/2 - параметр акустической нелинейности.
Уравнение (3) в нелинейной акустике называют уравнением простых волн.
Заметим, что это уравнение первого порядка, а не второго, как исходное
уравнение; таким образом, задачу удалось сильно упростить. Вывод
уравнения (3) из уравнений гидродинамики в представлении Эйлера можно
найти, например, в [5; 6^. Приведём значения нелинейного параметра
?-(ыУг =V2A >
где ^ = Ср/с для газов; А , В - коэффициенты разложения в ряд приращения
давления по приращению плотности А*(<//(>)+
+ (В/2К^'/<20)2+ • ¦
Дистиллированная вода
.'°с 0 20 40 60 80 100
г 3,1 3,5 3,7 3,8 4,0 4,1
Морская вода ( ?>=3,5 %, ^=20оС) - ? = 3,65
Вода с парогазовыми пузырьками (в зависимости от размеров,
концентрации пузырьков и частоты волны) - до 5*10^
Название среды Значение ? при 20°С
Метанол 5,8
Этанол 6,3
Ацетон 5,6
Глицерин 5,4
Трансформаторное масло 4,2 Бензин jq 6,6
1.6. На границе х = 0 нелинейной среды колебательная скорость изменяется
по закону а Сх~о/г=1) = u0-suncot. решая уравнение простых волн 1.5(3)
методом последовательных приближений, определить закон изменения
амплитуды второй гармоники с увеличением расстояния х.
Решение. Из уравнения простых волн получаем уравнения первого и второго
приближений
^."о, * :l*"*. ш
Ьэс -at
Решение первого приближения UCi>"U 0 • SUI LO'C поде тав ляем
во второе уравнение (I); интегрируя его с условием (на границе среды
второй гармоники нет), находим
и.(а)= (б/2С*) OOUq^C • S'un 2(дЛ . (2)
Видим, что амплитуда второй гармоники в среде растёт линеино с
координатой х . Расстояние
х=сср=с*/ши0 = Д/2зге.М, (3)
на котором амплитуда второй гармоники формально достигает 1/2 от
амплитуды первой, называют характерной нелинейной длиной или расстоянием
образования разрыва. На самом же деле решение
(2) справедливо на расстояниях ЗС 4; ОСр , гак как при заметной
перекачке энергии из первой гармоники во вторую решения, полученные
методом последовательных приближений,не точны. Из формулы (3) следует,
что для акустических сигналов, число Маха которых всегда мало (М ^ 1 ),
нелинейная длина Дными словами, чтобы профиль и спектр волны заметно
исказились, ей нужно пройти расстояние, равное многим длинам волн %. Это
и означает "медленность'* изменения профиля на масштабах порядка \ (см.
1.5).
1.7. На границе х = 0 возмущение есть сумма гармоничес-шх сигналов
U.(0,V) = + Ц.^- SLvn . Решая
сравнение простых волн 1.5(3) методом последовательных прибли-1ений,
найти амплитуды и 1А_ комбинационных гармоник Ю^+
- СО^ и . Сравнить эффективность генерации суммарной
II
и разностной частот.
Ответ. По аналогии с задачей 1.6 находим
^иЬ""и"(Ч*"й*. Ь=4. {.
^Со U + LO^+COg,
1.8. Показать, что точное решение уравнения простых во л 1.5(3),
отвечающее возмущению произвольной ?ормы Ц(х=0 = -ФСЧ на границе
нелинейной среды, дается неявной функцией
и(х,Ъ) = +вих/с') (I)
Получ! ть формулу(1) методом характеристик, известным из теории
квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого
порядка.
Решение. Дифференцируя (I), найдем
_ (е/с|)иф' ^ц_ ф'
1-се/с?)кФ' ' ъ* 1-се/с;)жф' '
здесь штрих означает производную по полному аргументу функции Ф .
Подставляя (2) в уравнение простых волн, имеем тождество.
О решении методом характеристик см. 2.2.
Интересно разобраться в том, как в неявной зависимости (1) "скрыты"
нелинейные эффекты. Разлагая (1) по малым х в ряд, получим
ц ^фф+ф'Ст^их+.. " + !*"$№) Ф'сп + • • • •
*"0 о
