Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
площадь возмущение Ре некоторого сохраняющего площадь двумерного
отображения р> Допустим, что функция Л( J) класса Сг ф 5, причем Л'( J)|
ф и > 0 в некотором кольце R = {(J, ф) \ а ф J ф
Ь}. Тогда
существует такое число 5, зависящее от е и Л( J), что если возмущение
Р?
удовлетворяет неравенству
SUP {lk/l|r+ Iksllr} < vS (4.8.30)
(л,ф)ен
Г
(здесь ||е/||г обозначает норму в Cr, т. е. \Dkf(J,/,s)\), то Р? облака
дает в R инвариантной кривой Ге вида
J = J° + U (ф), ф = ф + У(гф), (4.8.31)
где функции U и V класса С1 и 2тт-периодичны, причем
\\и\ф + \\V\h <е (4.8.32)
276
Глава 4
и а < J° < Ъ. Кроме того, индуцированное на этой кривой отображение Р6\Те
задается формулой
ф -> ф + 2тгА,
(4.8.33)
где иррациональное число А удовлетворяет бесконечному множеству
соотношений
для некоторых у,а > 0 и всех натуральных то, п. Каждому выбору А в
диапазоне Л( J) и удовлетворяющему условиям (4.8.34) отвечает некоторая
такая инвариантная кривая.
Для обоих данных результатов центральным является условие, что Ре
сохраняет площадь, так как если это отображение уменьшает или увеличивает
площади, инвариантные кривые могут не существовать1. Мы вернемся к
вопросу о числах вращения при обсуждении отображений окружности в разделе
6.2.
Сохранение множества инвариантных замкнутых кривых имеет важное следствие
в вопросе об устойчивости движения исходной системы на каждом
многообразии Н = h, так как из его существования следует, что некоторые
из исходных двумерных инвариантных торов J = const сохраняются и
выступают в роли ограничителей на трехмерных энергетических
многообразиях, через которые не могут перейти решения. Возмущенные
решения либо располагаются на этих торах, либо попадают в ловушку между
парой таких торов и, следовательно, не могут уйти в фазовом пространстве
сколь угодно далеко. Заметим, что хотя в системах с п ф 3 степенями
свободы множества аналогичных //-торов также сохраняются, они уже не
могут служить ограничителями на (2п - 1)-мерных энергетических
многообразиях, поэтому решения могут просачиваться и блуждать в фазовом
пространстве. Этот процесс известен как диффузия Арнольда, более подробно
о ней можно узнать в Arnold [1964], Lieberman [1980], Lichtenberg,
Lieberman [1982], Holmes, Marsden [1982b],
Рассмотрим теперь, что происходит с "резонансными" торами - такими, для
которых условие (4.8.34) не выполняется. Выберем такую инвариантную
замкнутую кривую Г о отображения Ро с действием J", для которой Л(J") =
п/т (Та = 2-кт/п). Эта кривая заполнена вырожденными периодическими
точками периода то, в каждой из которых линеаризованное отображение имеет
жорданову форму
^ 7то'
а
(4.8.34)
(4.8.35)
1Как правило, не существуют. - Прим. перев.
4.8. Гамильтоновы системы с двумя степенями свободы.
277
в результате чего движение имеет форму сдвига (рисунок 4.8.1). Чтобы
увидеть, что произойдет с этим кругом неподвижных точек, рассмотрим
поведение двух инвариантных кривых
jl3i; jl32
по обе стороны от JQ < J" < ./"2). Под действием Р(tm) точки на •/"'
поворачиваются на угол, больший, чем 2тт, а точки на J^2 - на угол,
меньший, чем 2п. Зафиксировав (3\ и J@2 и взяв с достаточно малым
(зависящим от ш), мы получим сохранение такого поведения для Р(tm). Отсюда
следует, что на каждом радиусе ф = const существует некоторая точка J^,
е), которая поворачивается отображением / (" на угол ровно 2тг, т. е. она
движется лишь в радиальном направлении. Так как возмущение Ре гладко, эти
точки 3(ф,е) образуют некоторую гладкую замкнутую кривую Ге, сходящуюся к
To{J = J"} при с -> 0 (см. доказательство теоремы 4.6.2).
Рис. 4.8.2. Отображение Рфп, показывающее кривую Ге, ее образ РР(Г?) и
неподвижные точки (по книге Арнольда и Авеца [1968]). Мы приводим рисунок
по модулю 2тгш, поэтому кажется, что точки вращаются по часовой стрелке
вне резонансной окружности и против часовой стрелки внутри нее.
Далее, отображение сохраняет площади, поэтому кривые Ге и /("' ('ГА)
ограничивают одинаковые площади и, очевидно, должны пересекаться. Каждая
точка пересечения является неподвижной для возмущенного отображения Рр.
Пуанкаре [1899] доказал существование 2km таких точек, где к - некоторое
(неизвестное) целое число: см. рисунок 4.8.2. (Ясно, что в
278
Глава 4
типичном случае пересечения Ге и Р(tm)(Ге) трансверсальны и что общее их
число должно быть четным и не менее 2т.)
Типы устойчивости данных неподвижных точек можно определить из
рассмотрения поведения близлежащих точек. Вначале заметим, что
произведение собственных значений Ai, А2 возмущенного отображения,
линеаризованного в неподвижной точке, должно равняться единице, так как
det|Z?P(tm)| = 1. Таким образом, вырожденные (параболические) точки с
матрицей (4.8.35) перерождаются или в гиперболические неподвижные точ-ки
(0 < Ai < 1 < А2), или в эллиптические неподвижные точки (А2 = Ai, |А* |
= 1). Предположив, что пересечения Ге с Р(tm)(Ге) трансверсальны, легко
увидеть из рисунка 4.8.2, что ровно половина из них является
