Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
имеет неподвижную точку в нуле, и д(1) = 0. График функции д на замкнутом
единичном интервале I показан на рисунке 5.0.1. Из требования а > 2 + i/б
следует, что существует такое число А > 1, что \д'(х)\ > А при х G д~1{1)
П I.
УПРАЖНЕНИЕ 5.0.1. Покажите, что наибольшее возможное значение А равно а
Хотя орбиты {дг(х)}°2=0 для почти всех точек х G I в конце концов
покидают I и стремятся к -оо, существует некоторое инвариантное множество
точек Л, итерации которого остаются в I. Это множество Л можно описать
при помощи символической динамики следующим образом.
Обозначим Ii и I2 две компоненты множества I Г) д 1 (I). Мы можем
сопоставить каждому х G Л последовательность {а,;}"0, состоящую из единиц
и двоек и определенную равенством а* = j, если дг(х) G Ij.
Последовательность {ai} помечает итерации х в порядке их следования слева
направо. Существенное наблюдение, которое мы сделаем относительно этого
процесса, состоит в следующем: если J С I - некоторый субинтервал,
1 См. также книгу: А. Н. Шарковский и др. "Динамика одномерных
отображений". - Прим. перев.
5.0. Введение
287
то множество g~l{J) состоит ровно из двух субинтервалов, один из которых
содержится в1ьа второй - в I2. Кроме того, заметим, что длина J, по
крайней мере, в Л раз больше длины каждой из компонент g~l(J), так как
|д'(х) | > Л при х е д~г (I) П I.
Сделанные наблюдения позволяют вывести ряд следствий:
(1) Каждая символическая последовательность отвечает некоторой точке из
множества Л. Для доказательства этого достаточно показать (в силу
свойства бесконечного пересечения компактных множеств), что каждое из
множеств вида
1аа,---,а" = 1ао С 5 (-^ai С д (1а2 П . • . П д {Ja" )•••))
является замкнутым и непустым. Это следует по индукции из сделанного выше
наблюдения, поскольку д~11ао,...,ап пересекается с каждым из множеств 1\
и /2.
(2) Разным точкам из Л соответствуют разные символические
последовательности. Это немедленно следует из того факта, что длина
множества 1аа,-,а" меньше, чем А~("+1).
(3) Л является канторовым множеством. Чтобы показать это, обозначим
= yjIao,...,a", где объединение берется по всем наборам из единиц и двоек
длины (гг + 1). Тогда Л" состоит из 2"+1 замкнутых субинтервалов, а
каждая компонента Л"_! содержит ровно две компоненты Л". Так как длины
компонент Л" стремятся к нулю с ростом п, то множество Л = Р| Л" является
канторовым множеством (т. е. замкнутым
71^0
множеством, не содержащим ни внутренних, ни изолированных точек).
(4) Последовательность, соответствующая д(х), получается из
последовательности, соответствующей х, путем отбрасывания первого члена.
Таким образом, мы показали, что каждую точку х ? Л можно однозначно
пометить при помощи некоторой полубесконечной последовательности ф(х) =
{а*(х)}"0, элементы которой равны 1 или 2. Более того, числа a,j отражают
динамику, т. е. орбитальную структуру отображения д. Таким образом, мы
свели изучение этого отображения к комбинаторной проблеме, включающей
символы {1,2}.
УПРАЖНЕНИЕ 5.0.2. Покажите, что д имеет счетное множество периодических
орбит, а также асимптотически периодических орбит.
УПРАЖНЕНИЕ 5.0.3. Разработайте символическую динамику для кубического
Отображения х -> f(x) = ах - х3 и опишите структуру его инвариантных
множеств для "больших" а. (Подсказка: найдите такое ас, что при а > ас
существует
288
Глава 5
субинтервал I = [-у/1 + а, у/1 + а] такой, что множество ID / 1(1) имеет
три компоненты, на которых \ f'(x)\ > 1.)
5.1. Подкова Смейла: пример гиперболического предельного множества1
Определенное выше одномерное отображение д тесно связано с другим
примером, подковой Смейла, представляющей собой гиперболическое
предельное множество и явившейся главным мотивирующим примером для
развития современной теории динамических систем. Мы опишем сейчас этот
пример подробно при помощи символической динамики. Его можно описать в
терминах обратимого отображения плоскости, которое можно трактовать как
отображение Паункаре для некоторого трехмерного автономного
дифференциального уравнения или для задачи о вынужденных колебаниях.
Ниже, в разделе 5.3 мы увидим, как возникает подкова в системе с
трансверсальными гомоклиническими орбитами, как в случае уравнения
Дуффинга. В разделе 2.4 мы уже познакомились с примером, в котором
непосредственно возникают подковы.
Возьмем единичный квадрат на плоскости S = [0,1] х [0,1] и определим
отображение /: S -> R2 таким образом, что f(S) П S состоит из двух
компонент, которые под действием / сохраняют прямоугольную форму, см.
рисунок 5.1.1. Отметим ориентацию образа: в частности, горизонтальные
границы АВ, DC отображаются в горизонтальные интервалы.
Данное отображение можно интерпретировать как растяжение S вдоль
вертикали и одновременое сжатие по горизонтали, с коэффициентами ц и А
соответственно, и последующий изгиб, при котором изгибаемая часть не
попадает в S, см. рисунок 5.1.1(b). Таким образом, сужение отображения на
