Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
(4.8.20)
(4.8.21)
I = L?(q, р, в] h)=L°(q,p; h) + eL1 (q, p, в: h) + 0(e2), L° = G~l(h -
F(q,p)),
Li = Hl(q,p:e:L°(q,p- h)) n(L°(q,p; h))
(4.8.22)
q h)-s^(q,p,e-, h) + 0{e2),
p' = h) + ^ h) + 0И-
(4.8.23)
4.8. Гамильтоновы системы с двумя степенями свободы.
273
автономная система (4.8.23) имеет соответствующую замкнутую орбиту,
описываемую формулой
L°(p,q,h) =G-1{h-ha)d= la. (4.8.24)
Кроме того, период этой орбиты Та монотонно изменяется при изменении 1а.
Р
Рис. 4.8.1. Невозмущенное отображение Пуанкаре Ро для (4.8.23).
Далее, отображение Пуанкаре Ро, ассоциированное с (4.8.23) при е = О,
является просто отображением вдоль потока за время 27г. Следовательно,
оно обладает непрерывным семейством инвариантных замкнутых кривых,
заполненных m-периодическими точками в случае, когда Та = 2тгто/п, m,n €
Z, или плотными орбитами, если отношение Г"/2тг иррационально, см.
рисунок 4.8.1 (ср. упражнение 4.8.1). Положим для простоты, что Та
возрастает при возрастании /°, так что среднее значение угла, на который
поворачиваются точки под действием Ро, убывает по мере удаления
инвариантных кривых от начала, как показано на рисунке 4.8.1.
Переходя от (р, q) к некоторым переменным "действие-угол" J, ф, приведем
невозмущенную систему к виду
j = 0,
(4.8.25)
ф = A(J),
где Л(J) = 2тг/Га, и отображение Пуанкаре запишется так:
(JA) А (J, Ф + 2лЛ(J)).
(4.8.26)
274
Глава 4
По предположению, величина Л убывает с ростом J, поэтому Pq является
закручивающим отображением. Возмущение eL1 изменит его следующим образом:
где fag - ограниченные 2тг-периодические по ф функции, причем Р? по-
прежнему сохраняет площадь.
Прежде чем представить метод определения свойств преобразования Р?,
приведем некоторые результаты, касающиеся возмущений сохраняющих площадь
отображений, подобных Pq. Более полная информация содержится в Arnold,
Avez [1968, особенно § 19-21, 34], Moser [1973], Арнольд [1978]. Наиболее
важным результатом является знаменитая теорема Колмогорова-Арнольда-
Мозера (КАМ), утверждающая, что для достаточно малых s "большинство"
замкнутых кривых J = const, инвариантных для Pq, сохраняется и для Р?.
Различные варианты этой теоремы были получены Колмогоровым [1954], Moser
[1962], Арнольдом [1963а,Ь] и Rtissman [1970], а затем обобщены для
систем с п степенями свободы, для которых отображения Пуанкаре (2п - 2)-
мерны (см. Arnold, Avez [1968], Арнольд [1978])1. Вместо того чтобы
приводить ее наиболее общую формулировку, мы ограничимся контекстом
обсуждаемого двумерного примера:
Теорема 4.8.1 (КАМ). Если Л'( J) ф 0 и величина е достаточно мала, то
возмущенное отображение Ре обладает множеством инвариантных замкнутых
кривых, имеющем положительную меру Лебега р(е) и близким к исходному
множеству J = J". Более того, p(s)/p(J) -> 1 при е -> 0. Сохраняющиеся
инвариантные замкнутые кривые заполнены плотными иррациональными
орбитами.
Из этого результата следует, что в исходной гамильтоновой системе
(4.8.20) при малых е ф 0 сохраняется некоторое измеримое множество торов,
несущих иррациональные потоки.
В терминах исходного невозмущенного гамильтониана
для всех I, J таких, что G(I) + F(J) = h (см. Арнольд [1978]).
1 Авторы не вполне точно излагают историю вопроса: на самом деле,
упомянутая основополагающая работа А. Н. Колмогорова посвящена сохранению
инвариантных торов в многомерных гамильтоновых системах, близких к вполне
интегрируемым. Представленная здесь теорема 4.8.1 принадлежит Арнольду и
Мозеру. - Прим. перев.
(ФФ)
~(J + ?f{Ji Ф,?), Ф + 27гЛ( J) + eg( J, ф, е)),
(4.8.27)
(4.8.28)
4.8. Гамильтоновы системы с двумя степенями свободы.
275
УПРАЖНЕНИЕ 4.8.4. Проверьте, что из условия (4.8.28) следует, что Л'( J)
ф 0. Покажите, что если в невозмущенном гамильтониане Я°(/, J) переменные
не разделяются, то условие невырожденности имеет вид
нЬ Hh я?
det Hjj H°J /0.
0
Заметим, что условия (4.8.28)-(4.8.29) выражают изоэнергетическую
невырожденность, они гарантируют, что отношение частот на невозмущенных
инвариантных торах изменяется при переходе с одного тора на другой на
каждом фиксированном уровне энергии (Арнольд [1978]).
УПРАЖНЕНИЕ 4.8.5. Покажите, что отображение Пуанкаре для редуцированной
системы из упражнения 4.8.1 можно представить в форме (4.8.26), где Л( J)
= л/23. Покажите также, что исходная система удовлетворяет условию
(4.8.28). (Подсказка: положите дг = л/21 sin в, р2 = л/21 cos в, qi =
л/2J sin ф, pi = л/2J cos ф.)
Общая картина (построенная, в основном, численно) такова: "достаточно
иррациональные" замкнутые кривые сохраняются при малых е для произвольных
возмущений, однако с ростом е они исчезают одна за другой до тех пор,
пока не останется ни одной замкнутой кривой, близкой к невозмущенной
(хотя могут появиться другие замкнутые кривые). Для уточнения понятия
"достаточно иррациональные" приведем более конкретный результат,
принадлежащий Мозеру:
Теорема 4.8.2 (теорема Мозера [1973, § 2]). Рассмотрим малое сохраняющее
