Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
для всех г, и мы сопоставляем х такую последовательность индексов,
которая сообщает, какая из частей Н\ или Но содержит каждый
из образов В отличие от отображения / = 2х (mod 1),
такое
определение ф однозначно, поскольку множества Н\ и Н2 разъединены. Данное
описание ф немедленно приводит к свойству сдвига, фигурирующему в
теореме: поскольку fl+1(x) = fl(f(x)), то ф(ф(х)) получается из ф{х) при
помощи сдвига индексов. Чтобы показать, что ф взаимно однозначно и
непрерывно, рассмотрим множество, состоящее из значений х, каждое из
которых обладает данным центральным набором символов. Конкретизируя Ь-т,
6_то+1, ¦ ¦ ¦, Ьо, ¦ ¦ ¦, Ьп, обозначим как R(b-m, 6_ш+ii ¦ ¦ ¦, bo, ...,
Ъп) множество таких х, для которых fl(x) ? Нь, для - т ф i ф
п. По индукции можно вывести,
что R(b-m, ..., Ъп) представляет собой прямоугольник высоты ц-("+1) и
ширины \т, лежащий на пересечении некоторых горизонтальной и вертикальной
полосок. Если положить т, п -> оо, то диаметр множеств R(b-m, ..., Ъп)
стремится к нулю. Следовательно, ф и взаимно однозначно, и непрерывно.
Остается показать, что ф сюръективно. Данный момент является решающим для
приложений символической динамики. Воспользуемся доводом, что при любом
выборе Ъ-т, ... ,Ъп множество R(b-m, . .., Ъп) непусто. Чтобы увидеть
это, полезно обратиться к рисунку 5.1.2. Заметим, что R(b0, ..., Ъп)
представляет собой некоторую горизонтальную полоску, переводимую
отображением /(tm)+1 в вертикальную полоску, идущую от низа до верха
квадрата S. Следовательно, fn+1(R(bo, ..., bn)) пересекает каждое из Hi,
a R(bo, ..., Ъп, Ъп+г) является непустой горизонтальной полоской,
простирающейся поперек S. Аналогично, мы уже упоминали, что множество S П
f(S) П ... П fm(S) состоит из 2т вертикальных полосок. Каждая из них
является множеством вида R(b_m, . .., Ъ_ 1), где встречаются все
последовательности (Ъ_т, ..., b-ф). Наконец, R(b_m, ..., Ъп) непусто,
поскольку каждая вертикальная полоска . .., Ъ-ф) пересека-
ет каждую горизонтальную полоску R(bo, . .., Ъп), a R(b_m, . . ., Ъп) = =
R(b-m, ..., b-1) = R(bo, ..., Ьпф и
Упражнение 5.1.1. Проверьте правильность обозначения центральных частей
символических последовательностей для прямоугольников на рисунке 5.1.3 и
пометьте оставшиеся заштрихованные прямоугольники при помощи
соответствующих (конечных) последовательностей символов.
Соответствие ф между Л и Е дает Л символическое описание, исключительно
полезное для понимания динамики на множестве Л. Целесообразно поименовать
данный процесс "сдвига индексов". Мы назовем отображение
сг: Е -> Е,
(5.1.4)
5.1. Подкова Смейла
293
определенное формулой <т(а) = Ь, где bi = а*+1, отображением сдвига.
Основное утверждение теоремы можно переписать в виде
Данное уравнение выражает топологическое сопряжение /|д и п. Записав его
в виде /|д = фо <т о 0, немедленно получаем
так что ф отображает орбиты / на Л в орбиты а на Е. Такое явное описание
отображения а позволяет легко установить многие его свойства. Например,
периодическая орбита а периода п соответствует периодической
последовательности a: ai = di+n для всех i. Зафиксировав п, мы легко
найдем последовательности со свойством а* = di+n, число которых 2"
совпадает с числом неподвижных точек /" на Л. Множество этих точек
включает в себя периодические точки, периоды которых равны п или являются
делителями п.
УПРАЖНЕНИЕ 5.1.2. Покажите, что все периодические орбиты Л принадлежат к
седловому типу. Покажите, что Л содержит счетное множество гетероклиниче-
ских и гомоклинических орбит. Покажите, что Л содержит орбиты, не
являющиеся асимптотически периодическими. Перечислите несколько первых
орбит (скажем, с периодами не более 5) и укажите их местоположение на
рисунке 5.1.3. Покажите, что Л содержит несчетное множество
непериодических орбит, и опишите их символические последовательности.
УПРАЖНЕНИЕ 5.1.3. Укажите в Е точку, чьи ст-орбиты плотны в Е.
(Подсказка: две точки в Е близки, если они согласуются по длинному
"центральному блоку"; найдите последовательность, содержащую все конечные
наборы из единиц и двоек.)
Данное только что описание подковы является "грубым" по отношению к малым
изменениям отображения /. Попробуйте представить, что изменится, если
опустить требование прямолинейности отображения / на Н\ U Н.2. Вообразим
такое возмущение / отображения /, для которого матрица Якоби непостоянна,
но близка к матрице Якоби для /. Качественных изменений при этом не
произойдет: множество S П f(S) П ... П fn(S) по-прежнему будет состоять
из 2" "вертикальных" полосок (которые, однако, уже не будут точными
прямоугольниками). Аналогично, множество /"(S) П ... П S будет состоять
из 2" "горизонтальных" полосок, не являющихся уже точными
прямоугольниками. Тем не менее, множество точек, для которых все итерации
/ остаются в S, образуют множество Л, топологически сопряженное сдвигу Е.
Данный результат Smale [1963, 1967] представляет собой один из первых
