Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
являются седлами в случае (д/дф)(Мш/п) < 0 и центрами в случае
(д/дф){Мт/п) > 0, так как по сделанным предположениям дТ/д1 > 0, откуда
О' < О.1 Далее, из теоремы об усреднении следует, что полная система
имеет орбиты седлового типа вблизи седловых точек системы (4.7.8) и
периодические орбиты вблизи таких центров, чей тип устойчивости не
определяется данным 0(^/е) приближением. Отсюда мы получаем результат,
аналогичный теореме 4.6.2. Заметим, однако, что если (как в примере
Дуффинга) |0'| -> оо при то -> оо для фиксированного п, то область
значений е, для которой усреднение правомерно, неравномерна и стягивается
при возрастании то.
Мы не будем рассматривать здесь подробности вычислений членов 0{е) в
общем случае. Соответствующие примеры можно найти в Морозов [1973],
Greenspan [1981] и Greenspan, Holmes [1982, 1983]2. Для таких вычислений
типично использование специальных функций, причем они выглядят еще более
громоздко по сравнению с примером Дуффинга из раздела 4.6. Один простой
пример приведен ниже. Тем не менее, используя соображения, содержащиеся в
работе Chow et al. [1980], мы можем определить устойчивость орбит из
второго ("центроподобного") множества, по крайней мере, для достаточно
малых значений е.
Предложение 4.7.1. Если tr Dg < 0 (соответственно, > 0), то периодические
орбиты системы (4.7.5), если они существуют, являются либо седлами, либо
стоками (соответственно, седлами или источниками), а отображение Пуанкаре
Ре не может иметь инвариантных замкнутых кривых.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как невозмущенная система гамильтонова, отображение
Пуанкаре Ро сохраняет площадь и det |ПРо| = 1. Допустим, что возмущение
является суммой гамильтоновой и диссипативной составляющих так, что tr Dg
< 0 (как в примере Дуффинга (4.5.18)). Тогда, поскольку возмущенный
трехмерный поток сжимает объем в etr °9'1 раз, возмущенное отображение
сжимет площади (det \DPe\ < 1 во всех точках). Поэтому все периодические
точки Р? являются либо стоками, либо седлами, ибо произведение их
собственных значений Ai • Аг = det \DPe\ < 1. Кроме того, не существует
простых инвариантных замкнутых кривых, так как их внутренность должна
уменьшаться по площади под действием Ре. Очевидно, что аналогичный
результат справедлив в случае det |РРе| > 1, в котором мы будем иметь
седла и источники, как и утверждалось. ¦
1 Возможен и обратный случай, когда П' > 0.
2См. также Морозов, Шиллингов [1983], Морозов [1995, 1998]. - Прим. ред.
4.7. УСТОЙЧИВОСТЬ СУБГАРМОНИЧЕСКИХ ОРБИТ
261
Заметим, что если при прохождении через бифуркационную кривую, подобную
изображенной на рисунке 4.6.3, рождаются, скажем, седла и стоки, то
последние могут затем испытывать бифуркацию удвоения периода, превращаясь
в пару седло + сток периода 2. Это имеет место, по крайней мере, для
достаточно больших то, в примере Дуффинга (см. Greenspan, Holmes [1982]),
но для доказательства необходимо привлекать методы, отличные от
описанного выше метода усреднения. Мы вернемся к этому вопросу в главе 6.
Приведем теперь пример из Greenspan, Holmes [1983], в котором
преобразование перехода к переменным "действие-угол" тригонометрическое и
вычисления прямолинейны. Этот пример также демонстрирует использование
усреднения и в первом, и во втором порядке, см. разделы 4.1-4.2.
Рассмотрим систему
й = v(l - (и2 + V2)) + е\5и - и(и2 + v2) + yMcosil,
(4.7.10)
v = -и( 1 - (и2 + v2)) + e[Sv - v(u2 + w2)].
Применим преобразование к переменным "действие-угол" для линейного
осциллятора
и = л/21 sin в, v = л/21 cos в,
u2+v2 (4-7Л1)
1 =--------- , 6" = arctg {v/u),
тогда (4.7.10) примет вид
I = s\25I - AI2 + 2у7 sin2 в cost],
(4.7.12)
в = (1 - 27) + е [7 sin в cos в cost],
а соответствующий невозмущенный гамильтониан теперь равен 77 = 7 - 72.
Период Т (7) невозмущенной орбиты равен
Т(7) = Г?2Г (4'7ЛЗ)
а невозмущенный фазовый портрет изображен на рисунке 4.7.1. Мы изучим
возмущения резонансной орбиты периода 4тг, соответствующей значению
действия 7 = 72,1 = Следуя (4.7.4), сделаем замену
7 - + л/eh,
0 = | + Ф1
(4.7.14)
262
Глава 4
Рис. 4.7.1. Невозмущенная фазовая плоскость в координатах (u, v) и (/,
в).
в результате которой после некоторых тригонометрических разложении
получим
^ГА 1 7/ sin20 . cos26,
h = a/s |^2 ~ 4 ^ 4 (cos t ^ 2- Sm 2- (! + cos 2i)
+ e ^ - 2 + y^cost + - sin 27 - - (1 + cos 27)
j j /i + 4e3/2/i2,
(4.7.15)
-\fe2h + ? (cos 2ф sin 27 + sin 2ф(1 + cos 27))J.
Для усреднения членов 0(^/s) в (4.7.15) выполним преобразс
-г г-1 f I sin 2ф . cos 2ф \ ,
h = h + ^/e- / (cos7 4-----------sm27 -cos27jd7
и , 6П ( ¦ , sm /ф cos 2ф .
= /г Ч :- sm 7--------------;- cos 27-------------;- sm 27
4 V 4 4
(4.7.16)
(ср. уравнения (4.1.5)-(4.1.7)). В результате, при учете (4.1.8), формулы
(4.7.15) примут вид
h = Je \ - % cos 1
2 4 8
cos 2 ф
¦ s 128 - 2 + 7 ( cos 7 + gjn 2^_
(1 + cos 2t() - | cos 2* -,i" 2t)]S + 077,
4.7. УСТОЙЧИВОСТЬ СУБГАРМОНИЧЕСКИХ ОРБИТ
263
ф = -\fe2h + е [д (cos 2ф sin 27 + sin 2ф{1 + cos 27)) -
