Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
Замечание. 1. Отметим, что М (to), как это и должно быть, имеет период Т
по to, так как отображения Р|° и Р|°+т идентичны, откуда d(to) = = d(to +
T). При вычислении М(to) мы остаемся в неподвижной точке д°(0) на
движущемся сечении Е4° и следим за колебаниями возмущенных многообразий
при изменении t0. Greenspan [1981] в своем анализе фиксировал сечение и
перемещал базовую точку д°(0) вдоль невозмущенной петли Г°. Эти два
подхода эквивалентны, поскольку возмущенные решения мажорируются
однопараметрическим семейством невозмущенных орбит q°(t - to), лежащих на
Г0, для которых сдвиги по времени (t0) и вдоль Г0 неразличимы.
2. Если возмущения генерируются (зависящей от времени) функцией
Гамильтона G(u, v): д\ = dG/dv, д-2 = -dG/du, то мы имеем
Эта формула покажется естественной, если вспомнить, что первая вариация
невозмущенного гамильтониана Н может быть получена путем интегрирования
уравнения эволюции
ОО
M(to)= J {H(q°(t -t0j), G(q0(t-t0),t)}dt,
(4.5.12)
- ОО
где {Н, G} обозначает скобки Пуассона (Golgstein [1980]):
Ш с 1 = dKdG _ dH dG 1,4 du dv dv du
(4.5.13)
(4.5.14)
240
Глава 4
3. Если функция д = д(х) не зависит от времени явно, то по теореме Грина
мы имеем
ОО ОО
J - to)) Ag(q°(t - t0),t) dt = J (fig2 - f2gi) dt =
- oo -oo
oo
= j (g2(u0,v0)u0-gi(u0,v0)v0)dt =
- OO
= / g2{u,v) du - g1(u,v) dv = / tr Dg(x) dx. (4.5.15)
Г0 int r°
Таким образом, формула, полученная Андроновым и др. [1971], является
частным (плоским) случаем более общей функции Мельникова, описывающей
"расщепление" возмущенных сепаратрис седла (см. также раздел 6.1)1.
4. Наконец, заметим, что замена переменных t -> t + to приводит интеграл
Мельникова (4.5.6) к виду
ОО
M(to)= J f(q°(t))/\g(q°(t),t + to)dt, (4.5.16)
- ОО
которая зачастую более удобна для расчетов.
УПРАЖНЕНИЕ 4.5.1. Допустим, что гипотеза А1 выполнена, но уравнение х = =
f(x) негамильтоново, так что tr Df ф 0. Найдите функцию Мельникова для
этого случая.
Обратимся теперь к случаю, когда возмущение д = д(х, t; д) зависит от
параметров д е Rfc. Для простоты возьмем к = 1.
Теорема 4.5.4. Рассмотрим параметризованное семейство х = f{x) + +
eg(x,t; д), д ? Ш, для которого выполнены гипотезы А1-АЗ. Допустим, что
функция Мельникова M(to,g) имеет (квадратичный) корень: М{т,ръ) =
(дМ/dto)(r, дъ) = 0, но (d2М/дЩ)(т, дъ) ф 0 и (дМ/дд)(т, дъ) ф 0. Тогда
дв = дъ + 0(e) - бифуркационное значение, для которого в данном семействе
систем имеют место квадратичные гомоклинические касания.
Доказательство. При сделанных предположениях и в силу (4.5.5), имеем
такое разложение по формуле Тейлора в точке (to, g) = (т, дъ): d(t0, д) =
е{а(д - дь) + (3(t0 - т)2} + 0(е\д - дъ|2) + 0(е2), (4.5.17)
'По этому поводу см. Морозов [12, 2, 3]. - Прим. ред.
4.5. Возмущения плоских гомоклинических орбит
241
где а, (3 - некоторые конечные константы. Для достаточно малых е функция
d(to, р) имеет квадратичный нуль по отношению к to для некоторого рв
вблизи рь, следовательно, Wu(pl) и Ws(pl) имеют квадратичное касание
вблизи точки Q°(0) на Ет. ¦
Данный результат важен, поскольку он позволяет проверять в конкретных
примерах одну из гипотез теоремы Newhouse [1979] о "диких"
гиперболических множествах (см. главу 6).
В качестве примера применим результаты данного раздела к уравнению
Дуффинга с отрицательной линейной жесткостью и слабым синусоидальным
возбуждением и демпфированием, введенному в главе 2. Записывая это
уравнение в виде (4.5.1), получим
где амплитуда силы у, частота ш и коэффициент демпфирования 5
представляют собой изменяемые параметры, а е - малый (масштабирующий)
параметр. При е = 0 системы имеет центры (и, v) = (±1, 0) и
гиперболическую седловую точку в начале координат (0,0). Линия уровня
состоит из двух гомоклинических орбит, Г^_, Г0., и точки ро = (0,0).
Невозмущенные гомоклинические орбиты с базами д±(0) = (±л/2,0)
описываются соотношениями
Вычислим функцию Мельникова для (расчеты для q°_ идентичны). Используя
формулу (4.5.16), имеем
и = V,
v = и - и3 + е(у cos uit - 5v),
(4.5.18)
(4.5.19)
9+(i) = (\/2sech(?)), - sech (t) tanh (t)),
(4.5.20)
OO
M(to) = / cosuj(t + to) - Sv°(t)} dt =
- OO
OO OO
OO
- OO
OO
\/2y / sech (t) tanh (t) cosuj(t + to) dt - 2 / 5sech2(i) tanh2(t) dt.
- OO
- OO
(4.5.21)
242
Глава 4
Оценка данных интегралов (первого - по методу вычетов) приводит к
формулам
M(to', 7,5,w) = - + V2jttlo sinwio. (4.5.22)
Положим
n, 4cosh(7ro;/2)
Д°(щ) = ---------2. ' '. (4.5.23)
3V2ttuj
Как следует из теоремы 4.5.3, если у/5 > то Ws(p?) и Wu(p?)
для достаточно малых е пересекаются, а в случае у/5 < R (ш) пересечение
этих многообразий пусто. Далее, поскольку при у/5 = R°(lu) функция M(to;
у, 5, ш) имеет квадратичные нули, значит, по теореме 4.5.4 для каждого
фиксированного uj в плоскости (у, 5) имеется бифуркационная кривая,
которая касается прямой у = R°(lu)5 в начале координат и на которой имеют
место квадратичные гомоклинические касания (для непосредственного
