Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
т) лежали внутри Uv. Тогда для достаточно близких к нулю значений а точки
qa(±r) также будут лежать в Uv. Мы имеем
Т Т
M(t") - Mm(t0) = [ j f(q°) A g(q°, t) dt - j f(qa) A g(qa, t) dt] +
- T -T
- T oo
+ J f(q°)Ag(q°,t)dt + J f(q°) A g(q°,t)dt-
- OO T
- r mT/2
- j f(qa)Ag(qa,t)dt- j f(qa)Ag(qa,t)dt. (4.6.7)
- mT/2 r
Из гладкости функций / иди непрерывной зависимости решений от начальных
условий следует, что для данного v > 0 найдется такое СЩ < 0, что для
всех а е [сщ, 0) первый заключенный в [квадратные скобки] член в (4.6.7)
будет меньше, чем v. Очевидно, что та ^ оо при а -> 0. Второе слагаемое
можно представить как разность двух интегралов вдоль дуг Г° и у".
Подставляя выражения для элементов длины дуги: ds = Vm02 + v02 dt = =
\f(q°)\ dt на Г° и ds = |/(q°)| dt на Г", преобразуем второе слагаемое к
виду
q° (г) д" (г)
/ ЛЛЛ9("°,()-^- j /("")A"(9".*)j^jj- Ы.6.8)
д°(-т) да{~т)
Из наших предположений относительно функции g следует, что SUP \g{qa, t)\
= К < оо, поэтому второе слагаемое ограничено веде uv(p)-, teR
личиной 2Kv. Следовательно, для а ? ["о, 0)
< (2K+l)v,
поэтому |М(to) - Mm(to) | -> 0 при а -> 0, что и требовалось. ¦
250
Глава 4
Для иллюстрации применения субгармонического анализа вернемся к уравнению
Дуффинга (4.5.18). При ? = 0 внутри каждой из гомоклинических петель Г°
имеется однопараметрическое семейство периодических орбит вида
qk+{t) = ( ^ dn( 1 , к),
^V^k2 J
- V2k2 sn
qk(t)=-k+(t), (4.6.9)
где sn, cnndn - эллиптические функции Якоби, к - модуль эллиптических
интегралов. При к -> 1 имеем q± -> q^_U{0, 0}, а при к -> 0 - -а- (±1,
0).
Мы выбрали начальные условия при t = to такими:
й(0) = (±\/г^'0)- (4<ио)
Заметим, что значение гамильтониана (4.5.19) можно выразить внутри Г^.
(или Г° ) через эллиптический модуль к\
Н^к)= ,о J,2=hb- (4-6Л1)
к2 - 1 def ,
(2 - к2)2
Кроме того, период этих орбит задается формулой
Тк = 2К(к)\/2 - к2, (4.6.12)
где К(к) - полный эллиптический интеграл первого рода. Величина Тк
монотонно возрастает вместе с к, причем lim Тк = V2tt, lim Тк = оо,
dTk dTk/dk ^ n
dhk dHk/dk ( }
И
lim ^ = oo. (4.6.14)
fc-"i dhk
Таким образом, допущения A2 и АЗ из раздела 4.5 выполнены наряду с А1.
4.6. Возмущения гамильтоновых систем и субгармонических орбит 251
Вычислим теперь субгармоническую функцию Мельникова для резонансных
периодических орбит1. Мы рассмотрим лишь те из них, которые лежат внутри
Г + : q+(t - to). В силу (4.6.12), условие резонансности таково:
2К(к)л/2-к2 = Щ^. (4.6.15)
При любом выборе то, п, для которых 2ттт/ит > \[2-к, уравнение (4.6.15)
имеет единственное решение к = к(гп,п), следовательно, имеется
единственная резонансная орбита q+k(m'n\ При вычислении интеграла
тТ
Mm/n(t0; 7,8,ш) = J ufe(m>n)(t)[7cosa;(t + to)-iu*!(m'n)(t)]dt, (4.6.16)
о
используем разложение в ряд Фурье для (4.6.9) и замечание 3 после теоремы
4.5.3. В итоге получим
Mm/"(io; 7, S, и>) = -SJi (rn, п) + 7J2(to, п, и>) sinuiio, (4.6.17)
где
J\ (rn, п) = -
2 [(2 - k2(m, n))2E(k(m, п)) - Ak!2(rn, п)К(к(гп, гг))]
(2 - k2(m, n))3/2 0, n^l:
J2 (m, n, lo) = < irrnK'(k(rn,l))
7ru;sech ------------, n = 1.
K(k(m, 1))
Здесь E(k) - полный эллиптический интеграл второго рода, а к' -
дополнительный эллиптический модуль к' = 1 - к2. Определяя
ЯтН = , (4.6.18)
J2(m, 1, сэ)
можно на основе теорем 4.6.2 и 4.6.3 сделать вывод, что если 7/<5 >
Rm(u>), то существует пара субгармоник порядка гп (периода 2'Kmjuj),
возникающих на бифуркационной кривой, касающейся прямой 7 = Rm(ui)5 в
точке 7 = <5 = 0. В данном примере не появляется ультрасубгармоник, по
крайней мере, при вычислениях с точностью 0(e).
Стандартные вычисления позволяют проверить, что
lim Мш/1 (to; 7, 5, и>) = М(to. 7, 5, и>), (4.6.19)
1 Сч. также Морозов [1995].
252
Глава 4
причем предельное значение приближается снизу, а скорость сходимости
чрезвычайно высока. На рисунке 4.6.3 показаны некоторые из бифуркационных
кривых Rm(ui).
Аналогичные расчеты можно выполнить для орбит, лежащих вне Г1} U {(0,0)}
иГ°, и получить некоторую последовательность бифуркационных кривых,
касательные к которым 7 = J\{m, 1)8/Ji(rn, 1,щ) = = Rm (ui)5
накапливаются к полученной выше линии 7 = Rm (ui)5. Дальнейшая информация
содержится в Greenspan [1981], Greenspan, Holmes [1982]1.
УПРАЖНЕНИЕ 4.6.1. Повторите проведенный выше субгармонический анализ для
вынужденных демпфированных колебаний плоского маятника
в = V,
v = - sin в + е(у cos t - 5v).
Заметьте, что при е = 0 существует два семейства периодических орбит:
одно с энергией
H(9,v) = ^ + (l-cos в) < 2
(колебания), другое - с энергией Н(в, v) > 2 (вращения). Смотри также
нижеследующий пример.
В качестве второго и последнего в данном разделе примера рассмотрим
плоский маятник со слабым постоянным крутящим моментом а и демпфированием
<5:
^ = V; (4.6.20)
v = - sin в + е(а - 5v); а, 5 > 0.
Такая система возникает при моделировании синхронных электромоторов,
одноточечных соединений Джозефсона в супер проводимости и во многих
