Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
применения теоремы 4.5.4 мы можем, например, зафиксировать ш и 6 и
изменять у). Некоторые отображения Пуанкаре для уравнения (4.5.17)
показаны на рисунке 4.5.3. Они были построены численно Ueda [1981а].
Невозмущенная двойная гомоклиническая петля Г+ U {0, 0} U Г[[_ изображена
для сравнения на рисунке 4.5.3а. Заметим, что (первое) касание обнаружено
при значении еу = 0,19, тогда как теоретическое значение, полученное из
(4.5.23), равно 0,188! Мы продолжим изучение данного примера в следующем
разделе.
УПРАЖНЕНИЕ 4.5.2. Используя метод Мельникова, постройте бифуркационные
кривые, вблизи которых имеют место квадратичные гомоклинические касания в
задаче о плоском маятнике, возбуждаемом комбинацией постоянного и
осциллирующего вращающих моментов (уравнение "синус Гордона" в отсутствие
демпфирования):
в = V,
v = - sin в + е(а + у cos t).
УПРАЖНЕНИЕ 4.5.3. Покажите, что гамильтонова система с зависящим от
времени Гамильтонианом
2,2 3 2 ,
. . р +q q eq cost
(, q-' *) = -2-у +
имеет трансверсальные гомоклинические орбиты для всех малых е ф 0.
4.5. Возмущения плоских гомоклинических орбит
243
Рис. 4.5.3. Отображения Пуанкаре для уравнения Дуффинга, показывающие
устойчивое и неустойчивое многообразия седловой точки вблизи (0, 0), to =
1,0, её = = 0,25: (а) е7 = 0,11; (Ь) е7 = 0,19; (с) е7 = 0,30.
244
Глава 4
4.6. Метод Мельникова: возмущения гамильтоновых систем и
субгармонических орбит
Будем считать, что система (4.5.1) удовлетворяет гипотезам А1-АЗ из
раздела 4.5, и рассмотрим семейство периодических орбит qa(t), лежащих
внутри Г°. Мы хотим узнать, сохранятся ли какие-либо из них под действием
возмущений ед(х11). Вновь начнем с леммы о возмущениях:
Лемма 4.6.1. Пусть qa(t - to) - периодическая орбита невозмущенной
системы периода Та с базой на Е*°. Тогда существует возмущенная орбита
q?(t,to), не обязательно периодическая, которая допускает представление
вида
Че (t, to) = qa (t - to) + sq\) (t, to) + 0(?2) (4.6.1)
равномерно no t ? [to, to + Ta] для достаточно малых e и всех а ? ( - 1,
0).
Доказательство. Доказательство существенно опирается на выводы о
геометрической структуре возмущенных устойчивого и неустойчивого
многообразий, полученные в лемме 4.5.2. Мы вновь зафиксируем окрестность
Uv неподвижной точки ро и возьмем кривую начальных условий qa(0) С Е°, не
лежащую в Uv, для которой lim qa(0) = q°(0). Любая
а-"0
орбита qa(t-to), начинающаяся на такой кривой, за конечное время
достигает границы Uv при возрастании или убывании t, поэтому мы имеем
\q?{t,to) - qa{t-t0)\ = O(s)
для значений из некоторого интервала t С (to - ti,to + ?г)- Внутри Uv
невозмущенные и возмущенные орбиты могут находиться сколь угодно долго,
так как при а -> 0 они проходят сколь угодно близко к седловой точке ро
(или к у?). Однако для фиксированного ? = ?о мы можем найти некоторое
множество орбит, лежащих достаточно близко к устойчивому и неустойчивому
многообразиям, которые остаются на расстоянии 0{е) от этих многообразий
до тех пор, пока они не попадут в окрестность UCe точки ро, содержащую
у?, причем се <С v (см. рисунок 4.6.1). Отсюда следует возможность
равномерного расширения оценок на интервал t ? (to -13, to + + t4), где
t3 + t4 - время, в течение которого невозмущенная орбита qa идет от
границы Uсе до границы Uv и обратно. Остается проверить, что q?(t, to) и
qa(t - to) остаются 0(е)-близкими в течение сколь угодно долгого
нахождения внутри Uсе- Это следует из наличия сдвига у потока вблизи ро,
обеспечиваемого условиями А2 и АЗ из раздела 4.5. Необходимо проверить,
что q? покинет UCe "в нужное время", а поскольку орбиты, близкие к у?,
4.6. Возмущения гамильтоновых систем и субгармонических орбит 245
Рис. 4.6.1. Орбиты в Uv и иСЕ.
остаются в этой окрестности сколь угодно долго, а орбиты, близкие к
границе UС?, покидают ее сколь угодно скоро, то для любого данного
(невозмущенного) промежутка времени найдется хотя бы одна орбита с этим
временем прохождения через окрестность. Отсюда следует, что начальное
условие g"(io) ? можно выбрать на расстоянии 0(e) от точек qa(0) и q°(0)
так, что орбита g"(io) останется в пределах 0(e) от qa(t - to) (и q?(t -
to)) до тех пор, пока она не достигнет Uce. Затем она "передает свои
полномочия" орбите q^(t - to) до тех пор, пока она вновь не попадет в ?-
окрестность qa{0). В течение всего времени она остается в пределах 0{е)
от qa(t - to)- Таким способом можно рассмотреть орбиты с невозмущенным
периодом Та, большим некоторого значения = Т^(ео), зависящего от so- Для
орбит с более короткими периодами г-близость обеспечивается стандартной
оценкой Гронуолла. Затем мы получаем требуемый результат для любых Та и е
= ?о- Но поскольку функции /, д класса Сг, то решения гладко зависят от
е, и этот результат справедлив для всех 0 < ? < ?о- ¦
Теперь определим субгармоническую функцию Мельникова. Пусть qa(t - to) -
периодическая орбита периода Та = тТ/п, где тип взаимно просты, а Т -
